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1973-10541-0101
京大入試問題数学解答集さんの解答(PDF)へ
1973 京都大学 文系・理系
文系,理系共通
配点35点
易□ 並□ 難□
【1】 10 進法で 3 けたの整数 α ( ≧0 ) をとり, α の一の位の数と百の位の数を入れかえてできる数を α ′ とする.ただし, 1 けたの数, 2 けたの数もそれぞれその前に 00 および 0 をつけて 3 けたの数とみなす. α が 0 から 999 までのすべての整数をとるとき,整数 α −α′ 全体の集合を A とし, A に含まれる正の整数全体の集合を B とする.このとき
(1) A , B に属する整数の個数を求めよ.
(2) B に属する整数の総和を求めよ.
1973-10541-0102
【2】 p , q , r は実数とする. 3 次方程式
x3+ p⁢x2 +q⁢x +r=0
において, 1 根が 1 で,他の 2 根はその絶対値がいずれも 1 であるための必要十分条件を求めよ.
1973-10541-0103
文系
配点30点
【3】 底辺の長さが a⁢ cm , その辺に対する頂角の大きさが θ⁢ ° ( 0⁢θ< 180) であるような 3 角形の面積の数値全体の集合を S ⁡(a, θ) で表わす.いま
0 <a1≦ a2 , 0<θ 2≦θ 1<180
であるとき, S⁡( a1, θ1) と S⁡ (a2 ,θ2 ) の包含関係をしらべよ.とくに等しくなるのはどのような場合か.
1973-10541-0104
【4】 a→ , b→ , c→ は平面上の単位ベクトルで,どの 2 つも 120⁢ ° の角をなすものとする.このとき,この平面上の任意のベクトル x → に対して
(1) (a →,x →) +(b →,x →)+ (c→ ,x→ )=0 が成り立つことを示せ.
(2) (a →,x →) 2+( b→, x→) 2+ (c→ ,x→ )2 の値を x → の大きさ l を用いて表わせ.
ただし, (a →,x →) などはベクトルの内積を表わす.
1973-10541-0105
【5】 y=f⁡ (x) =a⁢x 2+b⁢ x+c において, f⁡( 0)>0 とし,この関数のグラフは点 (1,1 ) および (3,5 ) を通るものとする.このとき f ⁡(x ) の最小値を最大にするような a , b , c の値を求めよ.
1973-10541-0106
【6】 放物線 y =a⁢x 2−4 ( a>0 ) と直線 y =5 とで囲まれた部分の面積を S とし,その部分を y 軸のまわりに 1 回転してできる回転体の体積を V とする. S , V の値を求め, S と V の間の a を含まない関係式を導け.
1973-10541-0107
理系
【3】 正 3 角形 ABC がある.点 O を直線 AB に関して C と反対側にとって ∠AOB =60⁢ ° となるようにし,ベクトル OA → , OB→ , OC→ をそれぞれ a → , b→ , c→ で表す.このとき
c →= | b→| | a→| ⁢a→ + |a →| | b→| ⁢b →
であることを証明せよ.ただし, | a→ |, |b →| はそれぞれ a → , b→ の大きさを示す.
1973-10541-0108
【4】
limn→ ∞n⁢ [ (n⁢ (n+1 )-n )3n - (n⁢ (n+1 )-( n+1) )3 n+1 ]
を求めよ.
1973-10541-0109
【5】 n は自然数とし
f⁡( x)=1 +x2 1⋅2 + x32⋅ 3+⋯ +x n+1 n⁢(n+ 1)
とする.このとき, −1≦x ≦1 において 1 ≦f⁡( x)<2 であることを証明せよ.
1973-10541-0110
【6】 当たり”くじ”が確率 p ( 0<p< 1) で現れる”くじ”があり,たかだか 2 回引くことができる.各自,最初に得点 1 をもってこの”くじ”を引き,当たり”くじ”ならば得点 1 を加え,そうでなければ 1 だけ減ずる.”くじ”を引き終えたときの合計得点が負または 0 ならば受け取る報酬は 0 , 正ならばその得点がそのまま報酬になるものとする.このとき, A 君は 1 度もくじを引かないことに決め, B 君は 1 度くじを引き,当たればそこで止め,当たらなければもう 1 度引くことに決め, C 君は当たる当たらないにかかわらず 2 回引くことに決めた. A , B , C 3 君の報酬の期待値を比較し,誰が一番有利であるかを判定せよ.