1974　室蘭工業大学MathJax

1974-10007-0101

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易□　並□　難□

【１】　次のを埋めよ．

(1)　 $2$ つの整式 $x^{2} + 3 x + 2 ， x^{3} + 3 x^{2} + x - 2$ の最大公約数はである．

1974-10007-0102

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易□　並□　難□

【１】　次のを埋めよ．

(2)　 $2 \cos^{2} x - \sin x = 1$ を満たす $x$ の値はである．ただし， $0 < x < π$ とする．

1974-10007-0103

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易□　並□　難□

【１】　次のを埋めよ．

(3)　 $2$ 点 $(1, 1, 1) ， (3, - 1, 5)$ を結ぶ線分を直径とする球面の方程式はである．

1974-10007-0104

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【１】　次のを埋めよ．

(4)　 $a ， b$ は実数として， $\frac{1 + 3 i}{a + b i} = 1 + i$ が成り立つならば $a = ， b =$ である．

1974-10007-0105

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【１】　次のを埋めよ．

(5)　さいころを投げて， $1$ あるいは $2$ の目が出たら $200$ 円， $3$ の目が出たら $500$ 円， $4 ， 5 ， 6$ のいずれかの目が出たら $100$ 円受け取ることが約束されているとき， $1$ 回さいころを投げて受け取る金額の期待値は，である．

1974-10007-0106

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【２】　 $a$ は $0 ， 1 ， - 1$ のいずれにも等しくない実数の定数とする．集合 $M$ は相異なる $4$ 個の実数からなり，次の条件(イ)，(ロ)を満たす．

(イ)　 $a$ を含む．

(ロ)　実数 $x$ を含むならば $\frac{1 + x}{1 - x}$ も含む．

　このとき $M$ のすべての要素（元）を $a$ を用いて表せ．

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【３】　だ円 $x^{2} + 2 y^{2} = 1$ の内部に $2$ 定点 $A (a, b) ， B (c, d)$ がある． $A$ を通って $x$ 軸と $θ$ の角をなす直線 $l_{1}$ とだ円との交点を $P_{1} ， Q_{1}$ とし， $B$ を通って $l_{1}$ に平行な直線 $l_{2}$ とだ円との交点を $P_{2} ， Q_{2}$ とする．このとき $\frac{A P_{1} \cdot A Q_{1}}{B P_{2} \cdot B Q_{2}}$ は $θ$ に無関係な一定値であることを証明せよ．

1974-10007-0108

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【４】　 $x y$ 平面上の $3$ 点を $O (0, 0) ， E_{1} (1, 0) ， E_{2} (\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ とする． $4$ つのベクトルを

$\vec{OA} = 2 \vec{O E_{1}} + \vec{O E_{2}} ， \vec{OB} = a \vec{O E_{1}} + b \vec{O E_{2}} ， \vec{OP} = p \vec{O E_{1}} ， \vec{OQ} = (5 - p) \vec{O E_{2}}$

とするとき，次の問に答えよ．

(1)　 $3$ 点 $A ， P ， Q$ は同一直線上にないことを証明せよ．

(2)　 $4$ 点 $A ， P ， B ， Q$ をこの順に結んでできる図形が平行 $4$ 辺形になるための必要十分条件を $a ， b ， p$ を用いて表せ．

(3)　(2)の平行 $4$ 辺形において $\vec{AB}$ と $\vec{PQ}$ とが垂直になるような $p$ の値を求めよ．

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【５】　曲線 $y^{2} - 2 x y + x^{4} = 0$ について，次の問に答えよ．

(1)　この曲線上の点の $y$ 座標の最大値を求めよ．

(2)　この曲線で囲まれる部分の面積を求めよ．

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