1976　室蘭工業大学MathJax

【１】　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d\text{，}e\text{，}f\text{，}g\text{，}h\text{，}i$は互いに相異なる$0$から$8$までの整数である．これを図のように配置すると，たてに並ぶ$3$個の整数の和$a+d+g\text{，}b+e+h\text{，}c+f+i$がすべて$s$であり，横に並ぶ$3$個の整数の和$a+b+c\text{，}d+e+f\text{，}g+h+i$もすべて$s$であり，斜めに並ぶ$3$個の整数の和$a+e+i\text{，}c+e+g$もすべて$s$である．

(1)　$s$の値を求めよ．

(2)　$e$の値を求めよ．

(3)　$a$は$0$でないことを示せ．

(4)　$a<c\text{，}b=0$のときに，$a\text{，}c\text{，}d\text{，}f\text{，}g\text{，}h\text{，}i$の値を求めよ．

【２】(1)　$a$は定数であって，関数

$f(x)=3x^4-4(a+1)x^3+6a{x}^2$

が$x\geqq 0$で増加であるとき，$a$の値を求めよ．

(2)　(1)の$a$値に対して，$f(x)$のグラフと，直線$x=a$と，$x$軸とで囲まれる部分の面積を求めよ．

【３】　$a$は正の定数とする．関数$f(x)=e^{-ax}\sin 2x$は，$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{3}{2}}\pi$において$2$つの極大値をもつことを示せ．また，その極大値を$q_1\text{，}{q}_2$（ただし，$q_1>q_2$）とおくとき，${\displaystyle \frac{q_2}{q_1}}$を求めよ．

【４】　$5a>b\text{，}{\log }_{a}b>{\log }_b{a}^3+2$を満たす整数$a\text{，}b$の値を求めよ．

【５】　行列

$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& 1\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}1& a\\ a& b\end{array}\right)\text{，}C=\left(\begin{array}{cc}a-1& x\\ ab& b-1\end{array}\right)$

が$AB=C$を満たすとき，$x$の値を求めよ．

【６】　$t>0$として，$f(t)={\displaystyle {\int }_0^t}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+x}}}dx$とする．このとき，すべての$t>0$に対して，不等式

${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2+t}}}<f(t+1)-f(t)<{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+t}}}$

が成り立つことを証明せよ．

【７】　確率変数$X$は$2$項分布に従い，$X=0$となる確率は正である．また$X=1$となる確率は，$X=0$となる確率の$6$倍であり，$X=2$となる確率は，$X=1$となる確率の$2$倍である．$X=2$となる確率を求めよ．