1977　北海道大学MathJax

【１】　実数$x\text{，}y$が$x^2-2xy+y^2-\sqrt{3}x-\sqrt{3}y+12=0$を満たすとき，次の最小値を求めよ．

(1)　$x+y$

(2)　$xy$

(3)　$x^3+y^3$

【２】(1)　点$(a,b)$から放物線$y={\displaystyle \frac{x^2}{4}}$に引いた接線の傾きを$t$とするとき，$t\text{，}a\text{，}b$の間にはどのような関係があるか．

(2)　点$(a,b)$から放物線$y={\displaystyle \frac{x^2}{4}}$に引いた$2$本の接線が垂直であるとき，点$(a,b)$はどのような図形上にあるか．

(3)　$2$次方程式$x^2-ax+b=0$が$-1$以上かつ$1$以下の範囲に実数解を少なくとも$1$つもつような点$(a,b)$の存在範囲を図示せよ．

【３】　$xy$平面において$\mathrm{O}(0,0)\text{，}{\mathrm{A}}_t(at,0)\text{，}{\mathrm{B}}_t(at,{\displaystyle \frac{a}{t}})$を頂点にもつ$▵\mathrm{O}{\mathrm{A}}_t{\mathrm{B}}_t$の重心を${\mathrm{G}}_t$とする．ただし，$a\text{，}t$は正の実数とする．

(1)　点$G_t$の座標を求めよ．

(2)　点${\mathrm{A}}_t$から辺$\mathrm{O}{\mathrm{B}}_t$に下ろした垂線の長さを求めよ．

(3)　点${\mathrm{G}}_t$から辺$\mathrm{O}{\mathrm{A}}_t\text{，}{\mathrm{A}}_t{\mathrm{B}}_t\text{，}\mathrm{O}{\mathrm{B}}_t$に下ろした垂線の長さをそれぞれ$p_t\text{，}{q}_t\text{，}{r}_t$とする．これらの積$p_t{q}_t{r}_t$は，$t$がいかなる値のとき最大となるか．またその最大値を求めよ．

【４】　$x>1\text{，}y>1$であるような$x\text{，}y$に対して$d(x,y)={\log }_a({\log }_{x}y)$とおく．ただし，$a>0\text{，}a\ne 1$とする．

(1)　$d(x,y)\text{，}d(x^p,y^q)\text{（}p>0\text{，}q>0\text{）}$を$d(x,y)$を用いて表せ．

(2)　$0<d(x,y)<{\log }_{a}2$を満たす$x\text{，}y$が存在するような$a$の範囲を求めよ．

(3)　$a$が(2)の範囲にあるとき，$0<d(x,y)<{\log }_{a}2$を満たすような点$(x,y)$の存在範囲を図示せよ．

【５】　$\mathrm{N}$は$1$から$n\text{（}n\geqq 2\text{）}$までの自然数からなる集合，$f$は$\mathrm{N}$から$\mathrm{N}$への写像で，$i<j\text{，}i\in \mathrm{N}\text{，}j\in \mathrm{N}$ならば$f(i)\leqq f(j)$であるとする．また，$f$のとる相異なる値がちょうど$k$個であるような$f$の個数を$\alpha (k)$で表す．

(1)　$\alpha (1)\text{，}\alpha (2)$を$n$の式で表せ．

(2)　$\alpha (k)\text{（}1\leqq k\leqq n\text{）}$はどうなるか．

(3)　${\displaystyle \frac{n}{2}}\leqq k\leqq n-1$のとき，$\alpha (k)$と$\alpha (k+1)$との大小を比べよ．

【６】問題未入手

【３】　数列$\{a_n\}$は次の関係式を満たすものとする．

$a_1=2a\text{，}{a}_n=2a-{\displaystyle \frac{a^2}{a_{n-1}}}\text{（}n=2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

ただし，$a\ne 0$とする．

(1)　$a_n\ne a\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$を証明せよ．

(2)　$b_n={\displaystyle \frac{1}{a_n-a}}$とするとき，$b_n$を$b_{n-1}$で表せ．

(3)　$a_n$を$n$の式で表せ．

【４】　関数$f(x)$は$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$では$f(x)\sin x=2{\displaystyle {\int }_0^x}{\cos }^{2}tdt$を満たし，また$x=0$で連続とする．

(1)　$0<x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$での$f(x)$を求めよ．

(2)　$f(0)$の値を求めよ．

(3)　$f(x)$の$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$での増減状態を調べよ．

【５】　関数$f(x)$は

${\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}}={\displaystyle \frac{2}{x^3}}\text{，}f(0)=0$

を満たし，$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=1\text{，}\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=1$であるとする．

(1)　すべての正数$x$について$e^x\geqq a{x}^2$が成り立つような$a$の範囲を求めよ．

(2)　$x\ne 0$のとき，$f(x)$を求めよ．

(3)　微分係数の定義と(1)とを用いて$f^{\prime }(0)$を求めよ．

【７】　$u=y^2-x^2\text{，}v=2xy$とする．

(1)　点$(x,y)$が原点を中心とする半径$1$の円周上を点$(1,0)$から出発し，時計の針と反対の向きに$1$回転するとき，点$(u,v)$はどのように動くか．

(2)　点$(x,y)$が直線$y=ax+b$上を動くとき，点$(u,v)$は点$(1,1)$を通るある直線上を動くとする．$a\text{，}b$を求めよ．