1979　北海道大学MathJax

【１】　行列$\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ t\sin \theta & t\cos \theta \end{array}\right)$を$A$とする．

　行列$A$による$1$次変換は，原点を中心とする半径$r$の円周をどんな図形にうつすか．この図形をかけ．

【２】　$2$点$\mathrm{P}(0,4,-1)\text{，}\mathrm{Q}(8,-8,3)$を通る直線上の点で，点$\mathrm{A}(1,1,2)$に最も近い点を求めよ．

【３】　半円$y=\sqrt{1-x^2}$上に相異なる$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$をとり，その$x$座標をそれぞれ$p\text{，}q\text{（}p>q\text{）}$とする．

(1)　$\mathrm{O}$を原点とし，線分$\mathrm{OP}\text{，}\mathrm{OQ}$および円弧$\stackrel{⏜}{\mathrm{PQ}}$で囲まれた部分を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を$p\text{，}q$で表せ．

(2)　さらに，$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$が$\angle \mathrm{POQ}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$なる条件を満たしながら半円上を動くとき，(1)の体積$V$の最大値とそのときの$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

【４】　$4$辺形$\mathrm{ABCD}$を$1$辺の長さ$1$の正方形とする．動点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}$を出発し，等速で頂点$\mathrm{B}$の方向に$4$秒で正方形を一周する．動点$\mathrm{Q}$は辺$\mathrm{AB}$上の$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とは異なる点から$\mathrm{P}$とは逆の方向に$\mathrm{P}$と同時に出発し，$\mathrm{P}$と同じ速さで一周するものとする．出発してから$t$秒後の$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$との距離の平方を$f(t)$で表すとき，${\displaystyle {\int }_0^4}f(t)dt$を求めよ．

【１】　$2$つの円$x^2+y^2=4\text{，}{(x-a)}^2+y^2=4$が交わるとき，その共通弦を直径とする円周を$C_a$とする．$a$が$0<a<4$を動くとき，$C_a$に属する点の存在範囲を図示せよ．

【２】　行列$\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ t\sin \theta & t\cos \theta \end{array}\right)$を$A$とする．

(1)　行列$A$による$1$次変換は，原点を中心とする半径$r$の円周をどんな図形にうつすか．この図形をかけ．

(2)　$t$が$1$以上を動くとき，(1)で得た図形に属する点の存在範囲を図示せよ．

【３】　$3$辺の長さが正の整数値である$3$角形のうち，$1$辺の長さが$n$で，他の$2$辺の長さが$n$以下のものはいくつあるか．ただし，合同なものは同じとみなす．

【４】　自然数$n$に対し，$f_n(x)=n^{p}x{e}^{-n{x}^2}$とする．

(1)　$A_n=\underset{a\to +\infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^a}{f}_n(x)dx$を求めよ．

(2)　次の(イ)，(ロ)を同時に満たす$p$の範囲を求めよ．

(イ)　数列$\{A_n\}$は収束する．

(ロ)　$f_n(x)\text{（}0\leqq x<+\infty \text{）}$の最大値を$B_n$としたとき，数列$\{B_n\}$は発散する．

【５】　関数$y=f(x)\text{（}x>0\text{）}$は微分可能で，かつ$f^{\prime }(x)\ne 0$とする．$x$軸上を正の方向に一定速度$\alpha \text{（}>0\text{）}$で動いている点$\mathrm{A}$が時刻$t=0$で原点を通過する．$t$秒後$\text{（}t>0\text{）}$の点$\mathrm{A}(x,0)$に対し，点$(x,f(x))$における曲線$y=f(x)$の接線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)　$\mathrm{Q}$が一定の速度$ka\text{（}k\ne 1\text{)}$で動くような関数$f(x)$を求めよ．ただし，$t=1$のとき$\mathrm{Q}$の座標は$(ka,0)$とする．

(2)　$\mathrm{Q}$が一定の加速度${\displaystyle \frac{a}{2}}$で動くような関数$f(x)$を求めよ．ただし，$t=1$のとき$\mathrm{Q}$の座標は$({\displaystyle \frac{7}{4}}a,0)\text{，}$速度は$2a$とする．

【３】　$4$点$\mathrm{P}(a,0,0)\text{，}\mathrm{Q}(0,a,0)\text{，}\mathrm{R}(x,y,0)\text{，}\mathrm{S}(u,v,w)$を頂点とする正$4$面体がある．$x\text{，}y\text{，}u\text{，}v\text{，}w$を$a$を用いて表せ．ただし，$a\text{，}x\text{，}y\text{，}w$はすべて正の数とする．

【４】　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の$2$人にはそれぞれ$4$点の持ち点があり，$1$つのさいころ（どの目の出る確率も等しい）を振って$1$または$3$の目が出たときは$\mathrm{A}$が$1$点を失い，その他の目が出たときは$\mathrm{B}$が$1$点を失うものとする．$\mathrm{A}$または$\mathrm{B}$の少なくとも一方が持ち点をすべて失うまでにさいころを振る回数を$X$としたとき，$X$の平均値を求めよ．

【５】　曲線$y=\sin ax\text{（}a\ne 0\text{）}$と$x$軸および$2$直線$x=0\text{，}x=\pi$で囲まれた部分を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V\left(a\right)$を求めよ．

　また区間${\displaystyle \frac{3}{4}}\leqq a\leqq 1$における$V\left(a\right)$の最大値，最小値を求めよ．