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1980-10001-0101
1980 北海道大学
文II系
理,医,歯,水産【4】の類題
易□ 並□ 難□
【1】 a1 ,a2 ,a 3, a4 ,a5 ,a 6 は,おのおの, 1 ,2 ,3 のどれかの値をとり, a1 +a2 +a3 +a4 +a5 +a6 =12 である.
a1 3+ a23 +a 33+ a4 3+ a53 +a6 3 の最大値を求めよ.
1980-10001-0102
【2】
A=( a 1-b 1-a b ) (a +b≠2 )
とし,各自然数 n に対して ( xn yn )= An⁢ ( 1 0) とおく.ただし, An は A の n 個の積を表わす.
(1) xn+ 1 を xn と a ,b で表せ.
(2) xn ,yn を求めよ.
1980-10001-0103
【3】 曲線 C: y=x3 +3⁢ x2+ 2⁢x+ 1 上の点 P( 1,7) を通り, P と異なる点で曲線 C と接する直線を l とする. C とで l 囲まれる図形の面積を求めよ.
1980-10001-0104
理,医,歯,水産【3】の類題
【4】 空間に 3 点 O( 0,0, 0) ,N( 0,0,1 ), S(0 ,0,-1 ) がある.点 Q( r⁢cos⁡ θ,r⁢ sin⁡θ, 0) ( r>0 ) に対し直線 OQ 上に点 R ( 1r ⁢ cos⁡θ, 1r ⁢ sin⁡θ, 0) をとり,直線 NQ と直線 SR の交点を P とする.線分 OP の長さを求めよ.
1980-10001-0105
理,医,歯,水産
【1】 次の条件(イ),(ロ)を満たす曲線 C の方程式 y= f⁡(x )( x≧ 0) を求めよ.
(イ) 点 (0, 1) を通る.
(ロ) 点 (0, 1) から曲線 C 上の任意の点 (x, y) までの曲線の長さ s が s= e2⁢ x+y -2 で与えられる.
1980-10001-0106
【2】 x の関数 f⁡ (x)= x3+ 2⁢a⁢ x+ bx がある.
(1) f⁡(x ) が x> 0 で極大値と極小値をそれぞれ 1 つずつもつための a ,b の条件を求めよ.
(2) (1)の条件のもとで, f⁡(x ) の極大値を与える正の x の値を α とする. b a2 が 0 に近づくときに, α⁢⁢ | ab | はどんな値に近づくか.
1980-10001-0107
文II系【4】の類題
【3】 空間に 3 点 O( 0,0, 0), N(0 ,0,1) ,S( 0,0, -1) がある.点 Q (r⁢ cos⁡θ,r ⁢sin⁡θ ,0) ( r>0 ) に対し直線 OQ 上に点 R ( 1r⁢ cos⁡ θ, 1r⁢ sin⁡ θ,0 ) をとり,直線 NQ と直線 SR の交点を P とする. r ,θ が 0<r , 0≦θ ≦2⁢ π の範囲を動くとき, P はどのような図形の上を動くか.
1980-10001-0108
文II系【1】の類題
【4】 a1 ,a2 ,a 3, a4 ,a5 ,a 6 は,おのおの, 1 ,2 ,3 のどれかの値をとり, a1 +a2 +a3 +a4 +a5 +a6 =12 である.
(1) a1 3+ a23 +a 33+ a4 3+ a53 +a6 3 の最大値を求めよ.
(2) a1 2+ a22 +a 32+ a4 2+a 52+ a6 2=x とおくとき
a1 4+ a24 +a 34+ a5 4+ a64 =k⁢x +l
となるように定数 k ,l を定めよ.
1980-10001-0109
【5】 2 つのさいころ(どの目の出る確率も等しい)を同時に投げて,同じ目が出るかどうかを調べるという試行を次の(イ)または(ロ)のいずれかが起きるまで続ける.
(イ) 同じ目がでる.
(ロ) n 回投げ終える(ただし n は与えられた回数とする).
このとき,さいころを投げる回数の期待値 En を求めよ.また E= limn→ ∞⁡ En を求めよ.