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1981-10007-0101
1981 室蘭工業大学
易□ 並□ 難□
【1】
A=( a b0 d ), -1< a<1 ,- 1<d< 1 ,a≠ d
とし, E は単位行列とする.
(1) A=a⁢ X+d⁢ Y ,X+ Y=E となる行列 X , Y を求めよ.
(2) An= an⁢ X+dn ⁢Y であることを示せ.
(3) E+A+ A2+ ⋯+A n で定義される行列を ( xn yn zn wn ) とおくとき, limn →∞ xn , limn →∞ yn を求めよ.
1981-10007-0102
【2】 1 辺の長さが 1 である正 4 面体の頂点を O , A , B , C とする.
(1) O を原点に, A を ( 1,0, 0) に重ね, B を x y‐ 平面上に, C を x >0 ,y >0 ,z> 0 の部分におく.ベクトルの長さと内積の定義を用いて,頂点 B ,C の座標を求めよ.
(2) OA→ と OB→ , および, OB→ と OC → のなす角をそれぞれ 2 等分する 2 つのベクトルのなす角を θ とするとき, cos⁡θ の値を求めよ.
1981-10007-0103
【3】(1) a を正の実数とし
f⁡( x)= { cos⁡ π 2⁢a ⁢ x ( |x |≦ a ) |x |- a( | x| >a )
とする. y=f⁡ (x ), x=± 1 ,y= 0 で囲まれる図形を x 軸のまわりに回転してできる立体の体積 V ⁡(a ) を求めよ.
(2) V⁡( a) の最小値およびそのときの a の値を求めよ.
1981-10007-0104
【4】 f⁡( x) は 2 回微分可能な関数で
f⁡( x0 )=α , f′⁡ (x0 )=α ′ , かつ f ″⁡( x)< 0 ( x>0 )
とする.曲線 y =f⁡( x) 上の点 ( t,f⁡ (t) ) ( t>0 ) におけるこの曲線の接線と,この曲線および y 軸とで囲まれる部分の面積は
∫ 0t (t- x)⁢ g′( x)⁢ dx
で与えられる.ここで g ⁡(x ) は, g′⁡ (x ) が x >0 で連続な関数で g ⁡(0 )=0 とする.
(1) f⁡( x) の満たす微分方程式を導け.
(2) 一般に n を正の整数, h⁡( x) を連続な関数とするとき
d dx ∫ax ( x-t) n⁢h ⁡(t )⁢d t=n⁢ ∫ ax (x- t) n-1 ⁢h⁡ (t) ⁢dt
が成り立つことを証明せよ.( a は任意の定数である.)
(3) (1)の微分方程式を満たす f ⁡(x ) は, x>0 の範囲で
f⁡( x)= α+α ′⁢( x-x0 )+
の形である.上式の を埋めよ.