1982　旭川医科大学MathJax

【１】　平面上に$4$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$がある．$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$は定直線$l$上に固定されており，線分$\mathrm{AB}$の長さは$3$である．$2$点$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$は次の条件を満たし，平面上$l$に関して同じ側または$l$上を動く点である．

(ⅰ)　線分$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CD}\text{，}\mathrm{DA}$の長さはそれぞれ$2\sqrt{3}\text{，}2\text{，}1$である．

(ⅱ)　$4$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$はこの順に$4$角形$\mathrm{ABCD}$をつくることができて，$\angle \mathrm{BAD}=x\text{，}\angle \mathrm{BCD}=y$とおくとき，$x$は$0$から$\pi$まで変化する．

このとき次の問いに答えよ．

(1)　$x=0\text{，}\pi$のとき，$y$はそれぞれどんな値をとるか．

(2)　$0<x<\pi$のとき，$4$角形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$を$x\text{，}y$で表せ．また$x$と$y$との間に成り立つ関係式を求めよ．これより導関数${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$は$▵\mathrm{ABD}$と$▵\mathrm{BCD}$の面積の比に等しいことを示せ．

(3)　(2)において，面積$S$が最大となるのは$4$角形$\mathrm{ABCD}$が円に内接するときであることを示せ．

【２】　$x\text{，}y$に関する方程式$y=a{x}^2+k$$\text{（}k$：正の定数）について，次の各問に答えよ．

(1)　$a$を任意の定数とするとき，上の方程式で表される曲線の全体を考える．これらの曲線のいずれにも直交するような曲線の方程式を求めよ．

(2)　(1)で得られた曲線のうち，とくに点$(2k,k)$を通るものを求め，かつその概形を描け．

(3)　(2)で得られた曲線によって囲まれる図形のうち$x$軸より下にある部分を，$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．

【３】　日本人の血液型の百分率は，$\mathrm{O}$型$30\mathrm{\%}\text{，}\mathrm{A}$型$40\mathrm{\%}\text{，}\mathrm{B}$型$20\mathrm{\%}\text{，}\mathrm{AB}$型$10\mathrm{\%}$といわれている．このとき次の各問に答えよ．ただし(1)，(2)においては，$\boxed{}$の中にあてはまる適当な式，数値または用語を所定の欄に記入せよ（結果だけでよい）．

(1)　まったく任意に$3$人選んだとき，$\mathrm{O}$型，$\mathrm{A}$型，$B$型が各$1$人ずつである確率は$\boxed{}$であり，$1$人は$\mathrm{A}$型，$2$人は$\mathrm{AB}$型である確率は$\boxed{}$である．

(2)　$n$人からなる集団を任意に抽出するとき，$n$人の中の$\mathrm{B}$型である人数$X$は，$n$が十分大きいとき平均$m=\boxed{}\text{，}$分散${\sigma }^2=\boxed{}$の$\boxed{}$に従うと考えてよい．

(3)　人口$\mathrm{1,225}$人のある集落$S$を抽出し，$\mathrm{B}$型の人数を調べたところ，$211$人であったという．この人数は異常であるといえるか．有意水準（危険率）$5\mathrm{\%}$で検定せよ．