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1985-10000-0101
1985 共通一次試験 本試験
数学I
配点36点
正解と配点
易□ 並□ 難□
【1】 4 点 A ( 1,3) , B ( 5,8) , C ( 0,0) , D ( 12,0) がある.線分 AB 上の動点 P と線分 CD 上の動点 Q に対し,線分 PQ の中点を S とする.このとき点 S の存在する範囲は, 4 点
K ( 52, アイ ) , L( 12, ウエ オ ) , M( カキ ク ,3 2) , N( ケコ サ ,4 )
を頂点とする四角形の周および内部である.そして四角形 KLMN の面積は シス である.
1985-10000-0102
1985 共通一次試験 本試
配点40点
【2】 単位円 x2 +y2 =1 上に 3 点 P ( 0,1) , Q (1, 0), R ( a,b) がある.点 R は第 1 象限内にあり,線分 PR の長さ PR ‾ が 1 である.
このとき,
a= アイ ウ , b= エオ カ
であり,
PQ‾ = キク , QR‾= ケコ - サシ 2
である.また,
cos⁡∠PQR = スセ ソ , ▵ PQRの面積= タチ - ツテ ト
である.
1985-10000-0103
(2)とあわせて配点44点
【3】
(1) x 軸と y 軸に接し,点 (-4 ,2) を通る二つの円のうち,半径の小さい円の方程式を
x2+ y2+ l⁢x+ m⁢y+ n=0
とすれば,
l= アイ , m = ウエ , n = オカ
1985-10000-0104
(1)とあわせて配点44点
(2) 二次関数 f⁡ (x )= x2+ a⁢x+ 3 について,
(ⅰ) すべての x に対し a≦ f⁡(x ) であるための a の範囲は,
キク ≦a ≦ ケコ
(ⅱ) -2≦x ≦2 であるすべての x に対し a≦ f⁡(x ) であるための a の範囲は,
サシ ≦a ≦ スセ
1985-10000-0105
数学II
【4】〜【6】から2題選択
【4】 原点 O および点 A ( 1,3) , B ( 4,2) , C ( 2,5) を考える.
(ⅰ) OC→ を OA → , OB→ で表すと,
OC→ = アイ ウエ ⁢ OA→ + オカ キク ⁢ OB→
となる.
(ⅱ) 直線 AB と直線 OC との交点を P とするとき, OP→ を OA → と OB → で表すと,
OP→ = ケコ サシ ⁢ OA→ + スセ ソタ ⁢ OB→
(ⅲ) Q が直線 AB 上の点で, QC→ が OB → に平行であるとき, OQ→ を OA → と OB → で表すと,
OQ→ = チツ テト ⁢ OA→ + ナニ ヌネ ⁢ OB →
1985-10000-0106
【5】 3 点 O ( 0,0) , A ( 5,0) , B ( 0,5) を頂点とする三角形 OAB がある.辺 OA , AB , BO をそれぞれ 2: 3 に内分する点を A 1 , O 1, B1 とする.同様に三角形 O 1A1 B1 の辺 O 1A1 , A1 B1 , B1 O1 をそれぞれ 2: 3 に内分する点を A 2, O2 , B2 とする.このような操作を n 回行なってできる点 A n, On , Bn を頂点とする三角形 O nAn Bn を考える.
(ⅰ) 三角形 O2 A2 B2 の頂点の座標は,
A2 ( アイ 5, ウ 5) , O2 ( エ 5, オ 5 ) , B2 ( カ 5, キク 5 )
(ⅱ) 三角形 On An Bn の面積を Sn とするとき,数列 S 1, S2 , ⋯ は初項が ケ コ , 公比が サ シス の等比数列である.
(ⅲ) 点 O 2⁢n の x 座標を x 2⁢n ( n=1 , 2, ⋯ ) とし, x0 =0 とすると,
x2⁢ n-x 2⁢n- 2= セ ソ ⁢ ( タ チツ ) n-1
1985-10000-0107
【6】 動点 P が正五角形 ABCDE の頂点 A から出発して正五角形の周上を動くものとする. P がある頂点にいるとき, 1 秒後にはその頂点に隣接する 2 頂点のどちらかにそれぞれ確率 12 で移っているものとする.
(ⅰ) P が A から出発して 3 秒後に E にいる確率は ア イ である.
(ⅱ) P が A から出発して 4 秒後に B にいる確率は ウ エオ である.
(ⅲ) P が A から出発して 4 秒後に A にいる確率は カ キ である.
(ⅳ) P が A から出発して 8 秒後に A いる確率は クケ コサシ である.