1987　室蘭工業大学

【１】(1)　曲線$y^2=\sqrt{2}x+{\displaystyle \frac{1}{2}}$を原点を中心に反時計まわりに$45\mathrm{°}$回転した曲線$C$の方程式を求めよ．

(2)　曲線$C$の焦点の座標を求めよ．

(3)　曲線$C$のグラフをかけ．

【２】　$a\text{，}b\text{，}d$を実数とし，行列$A$と実数$\lambda$を$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 1& d\end{array}\right)\text{，}\lambda =a+d-1$で定める．また，平面上の点${\mathrm{P}}_n=(x_n,y_n)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$を

${\mathrm{P}}_1=(1,0)\text{，}\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}{x}_{n-1}\\ y_{n-1}\end{array}\right)\text{（}n=2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．

(1)　$3$点${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3$が同一直線上にあるための$a\text{，}b\text{，}d$の満たすべき必要十分条件を求めよ．

(2)　$a\text{，}b\text{，}d$が(1)の条件を満たすとき，ベクトル$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_{n-1}{\mathrm{P}}_n}\text{（}n\geqq 2\text{）}$を$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2}$と$\lambda$を用いて表せ．

(3)　(2)において，さらに，$-1<\lambda <1$を満たすとき，ベクトルの長さについて$\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\overrightarrow{{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_n}\right|$を求めよ．

【３】　関数

$f(x)=|x-a_1||x-a_2||x-a_3||x-a_4|\text{（}0\leqq a_1\leqq a_2\leqq a_3\leqq a_4\text{）}$

は$x=a_k\text{（}k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{）}$で微分可能である．

(1)　$a_1=a_2$かつ$a_3=a_4$が成り立つことを示せ．

(2)　さらに，$f(x)$は次の$2$つの条件を満たすとする．

(イ)　曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれる部分の面積は${\displaystyle \frac{1}{30}}$

(ロ)　$f(x)$は$x=0$で極値をとる．

　このとき，$f(x)$を定めよ．

【４】(1)　$n$は正の整数とする．$x>0$かつ$x\ne 1$を満たす$x$の範囲で，不等式$n{x}^{n+1}-(n+1)x^n+1>0$が成り立つことを証明せよ．

(2)　$r$は$r>0$かつ$r\ne 1$を満たす定数である．このとき，$3$以上のすべての整数$n$について不等式

$1+r+r^2+\cdots +r^{n-1}<{\displaystyle \frac{n(1+r^{n-1})}{2}}$

が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明せよ．

【５】　$t$を正の実数とし，曲線$y=\log x$と$y$軸および$2$直線$y=t\text{，}y=-t$とで囲まれる図形の面積を$S(t)$とする．

(1)　$S(t)$を求めよ．

(2)　${S(t)}^2-{S^{\prime }(t)}^2$の値を求めよ．ただし，$S^{\prime }(t)$は$S(t)$の導関数を表す．

(3)　上の図形を$y$軸のまわりに回転してできる立体の体積を$V(t)$とするとき，${\displaystyle \frac{V(t)}{S(t)S^{\prime }(t)}}$の値を求めよ．