1988　室蘭工業大学

【１】　$2$次の正方行列$A\text{，}B$が$AB=BA=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$を満たす．$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$とする．

(1)　$a=d\ne 0\text{，}c=0$であることを示せ．

(2)　すべての正の整数$n$に対して$A^n=\left(\begin{array}{cc}{a}^n& n{a}^{n-1}b\\ 0& a^n\end{array}\right)$であることを数学的帰納法を用いて証明せよ．

【２】　平面上の$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$について，$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角は$\theta$で，それらの長さ（大きさ）は$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=2\text{，}\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=1$である．$t$がすべての実数を動くとき，動点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=t\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=(1-t)\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$の長さを$f(t)=\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|$とおく．関数$f(t)$が最小値をとるときの$t$の値を$t_0$とする．$0<t_0<{\displaystyle \frac{1}{5}}$であるような$\theta$の範囲を求めよ．

【３】　$a>0\text{，}b>0$とする．次の$2$つの曲線の交点を$\mathrm{P}(p,p^2)$とする．

$y=x^2\text{（}x\geqq 0\text{）}\cdots \text{①}\text{，}y=-a{x}^2+b\text{（}x\geqq 0\text{）}\cdots \text{②}$

(1)　$\text{①}$と$\text{②}$と直線$y=q$とで囲まれる部分の面積が，$\text{①}$と$\text{②}$と$y$軸とで囲まれる部分の面積に等しくなるように正の数$q$を定める．このとき，${\displaystyle \frac{q}{p}}$の値を求めよ．

(2)　$a>0\text{，}0<b\leqq {\displaystyle \frac{1}{4}}$のとき，点$\mathrm{P}$における$\text{①}$の接線と点$\mathrm{P}$における$\text{②}$の接線は直交しないことを示せ．

【４】　関数$f(x)=\log (1+x)-ax$について，$0\leqq x\leqq 1$における$f(x)$の最大値$M(a)$を求めよ．ただし，対数の底は$e$である．

【５】　関数$f(x)$は，

$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき$f(x)=x\text{，}$

${\displaystyle \frac{1}{2}}<x\leqq 1$のとき$f(x)=1-x$

である．

(1)　${\displaystyle {\int }_0^1}{e}^{-x}f(x)dx$を求めよ．

(2)　$a_n={\displaystyle {\int }_{n-1}^n}{e}^{-x}f(x-n+1)dx\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を求めよ．

(3)　級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{a}_n$の和を求めよ．