1989　埼玉大学　理,工学部MathJax

【１】(1)　$xy$平面において，方程式$|x^2-y|=1-\left|y\right|$で表される図形をかけ．

(2)　(1)の図形で囲まれた部分の面積が，放物線$y=a{x}^2+1-a\text{（}a>0\text{）}$によって二等分されるとき，$a$の値を求めよ．

【２】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$（$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$は実数）に対して，$p=a+d\text{，}q=ad-bc$とおく．単位行列を$E$とする．

(1)　$A^3=sA+tE$と表したとき，係数$s\text{，}t$を$p\text{，}q$を用いて表せ．

(2)　$A^3=E\text{，}A\ne E$である$A$について，$p\text{，}q$の値を求めよ．

(3)　(2)の$A$を用いて$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)\text{，}\left(\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\end{array}\right)=A^2\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$とする．$xy$平面上の$3$点${\mathrm{P}}_0(1,\mathrm{0-})\text{，}{\mathrm{P}}_1(x_1,y_1)\text{，}{\mathrm{P}}_2(x_2,y_2)$について

${\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_1={\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_2\text{，}▵{\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2\text{の面積}=1$

が成立するとき，行列$A$を求めよ．

【３】　$xyz$空間に$3$点$\mathrm{P}(1,0,0)\text{，}\mathrm{Q}(0,2,0)\text{，}\mathrm{R}(0,0,3)$がある．

(1)　原点$\mathrm{O}$と直線$\mathrm{PR}$との距離$r$を求めよ．

(2)　$3$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$を通る平面と，$\mathrm{O}$を中心とし半径$r$の球との交わりとしてできる円を$C$とする．円$C$の中心の座標と半径を求めよ．

(3)　円$C$上の点の$z$座標の最小値を求めよ．

【４】　$a\geqq 0$とする．

(1)　$x>0$のとき，${\displaystyle \frac{x}{1+x}}<\log (1+x)<x$が成立することを示せ．

(2)　$A_n={\displaystyle \frac{1}{a+n}}+{\displaystyle \frac{1}{a+n+1}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{a+n+k}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{a+2n}}$とするとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{A}_n=\log 2$を示せ．

(3)　$B_n=(1+{\displaystyle \frac{a}{n}})(1+{\displaystyle \frac{a}{n+1}})\cdots (1+{\displaystyle \frac{a}{n+k}})\cdots (1+{\displaystyle \frac{a}{2n}})$とするとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{B}_n$を求めよ．