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1989-10262-0101
1989 東京医科歯科大学
易□ 並□ 難□
【1】 xyz 空間に点 A (- 1 3, -14 3, -2 3) と球面 S0 :x2 +y2 +z2 =1 とがある.また,曲面 y2= x が x y 平面と交わってできる曲線を C とする.
(1) 点 P が球面 S 0 上を動くとき,線分 AP を 4 :3 に外分する点 Q のつくる曲面 S の方程式を求めよ.
(2) 点 R が曲線 C 上を動き,点 T が(1)の曲面 S 上を動くとき,線分 RT の長さの最小値を求めよ.
1989-10262-0102
【2】(1) f⁡( x)= x ,h ⁡(x )= x2⁢ sin⁡x とするとき,次の条件(a),(b)を満たす関数 g ⁡(x ) を求めよ.
(a) g⁡( π 2) =π 2
(b) f⁡( x)⁢ g′⁡ (x) -f′( x)⁢ g⁡( x)= h⁡( x)
(2) 次の条件(a),(b),(c)を満たす関数 g ⁡(x ) ( 0≦x≦ 4 ) を求めよ.
(a) g⁡( 4)= 16
(b) 区間 0 ≦x≦ 4 において g ′⁡( x)≧ 0 ,g ⁡(x )≧ x2
(c) 曲線 y =g⁡ (x ) ( 0< x<4 ) 上の任意の点 P ( x0, y0) に対し,次の 2 つの領域 D1 ,D2 の面積は等しい.
D1 :0≦ x≦x0 ,g ⁡(x )≦y ≦y0
D2 :0≦ x≦x0 , x2 ≦y≦g ⁡( x)
1989-10262-0103
【3】 集合 A ={1 ,2,3 ,4,5 ,6} から A 自身への写像 g :A →A に対して,集合 { x| x∈A , g⁡( x)= x} を K ⁡( g) と表すことにする.いま,さいころを 6 回投げて i 回目に出た目を f ⁡(i ) ( i=1 , 2 ,3 , 4 ,5 , 6 ) とする.このようにして作られる写像 f :A →A について,次のそれぞれの確率を求めよ.
(1) f が 1 対 1 の写像になる確率
(2) K⁡ ( f)= {1, 2} となる確率
(3) f が A の上への写像になっているという条件のもとで, K⁡ ( f)= {1, 2} となる確率
(4) f が 1 対 1 の写像であることがわかっているとき, K ⁡( f) が空集合かつ K⁡ (f ∘f) =A となる確率