1989　東京学芸大学MathJax

【１】　座標平面上で，行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$で表される$1$次変換$f$が，直線$2x-y=0$と直線$2x+3y=6$のそれぞれをそれ自身にうつすとする．

(1)　行列$A$を$a$を用いて表せ．

(2)　上の$2$直線と$x$軸とで囲まれる三角形を$f$でうつしたとき，うつった図形の面積が$3$となるときの$a$の値を求めよ．

【２】　座標空間内の直線$l_1\text{，}{l}_2$の方程式をそれぞれ

$x+5=6(2-y)=3(3-z)\text{，}2x=3(9-y)=3(z-2)$

とする．$l_1$と$l_2$の両方に直交する直線が$l_1\text{，}{l}_2$と交わる点をそれぞれ${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2$とする．

(1)　${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2$の座標を求めよ．

(2)　${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2$をそれぞれ中心とし，半径が$4$の$2$つの球の共通部分の体積を求めよ．

【３】　整式$P_n(x)\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$が

$P_0(x)=1\text{，}{P_{n+1}}^{\prime }(x)=P_n(x)\text{，}{P}_n(0)=1$

を満たすとする．ただし，${P_{n+1}}^{\prime }(x)$は$P_{n+1}(x)$の$x$に関する導関数を表す．

(1)　$P_n(x)$を求めよ．

(2)　方程式$P_{2k-1}(x)=0\text{（}k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$は区間$-2k<x<0$において解をもつことを示せ．

(3)　すべての実数$x$に対して，不等式$P_{2k}(x)>0\text{（}k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$が成り立つことを示せ．

【４】　微分可能な関数$f(x)$が$f(0)=0$を満たし，区間$0<x\leqq 1$で$f^{″}(x)<0$であるとする．次のことがらを証明せよ．

(1)　関数$g(x)={\displaystyle \frac{f(x)}{x}}$は区間$0<x\leqq 1$で減少する．

(2)　区間$0<x\leqq 1$で$f(1)\leqq g(x)\leqq f^{\prime }(0)$が成り立つ．

(3)　$f(1)<{\displaystyle {\int }_0^1}{e}^{x}f(x)dx<f^{\prime }(0)$が成り立つ．

【１】　$1$次変換$f$を表す行列を$\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& -1\end{array}\right)$とする．$f$によって座標平面上の集合$S=\{(x,y)|x-1\leqq y\leqq 4x\}$が座標平面上の集合$T$にうつされるとする．

(1)　集合$T$を求め，それを図示せよ．

(2)　$a$を正の定数とする．点$(x,y)$が集合$T$の中を動くとき，$y-a{x}^2$を最大にする点の座標と，そのときの値を求めよ．

【２】　座標空間内の平面$x+y+z=3$を$\alpha$とする．平面$\alpha$上に点$(1,1,1)$を中心とする半径$1$の円$C$がある．円$C$の周上の点$\mathrm{P}$を通り，平面$\alpha$に垂直な直線が$xy$平面と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{P}$が円$C$の周上を動くとき，点$\mathrm{Q}$の軌跡の方程式を求めよ．

【３】　ひし形$\mathrm{ABCD}$の$2$本の対角線の長さを$\mathrm{AC}=2\text{，}\mathrm{BD}=6$とする．このひし形に内接するだ円を直線$\mathrm{BD}$のまわりに回転してできる回転体の体積の最大値を求めよ．