1989　岡山大学MathJax

【１】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$が$A^2-4A+3E=O$を満たすとき，$a+d$および$ad-bc$の値を求めよ．ただし，$E$は単位行列，$O$は零行列を表す．

【２】　直角三角形$\mathrm{ABC}$の斜辺$\mathrm{BC}$を$n+1$等分する点を図のように${\mathrm{D}}_1\text{，}{\mathrm{D}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{D}}_n$とする．$\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|=b\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=c$とするとき，${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\left|\overrightarrow{\mathrm{A}{\mathrm{D}}_k}\right|}^2$を$b\text{，}c$と$n$で表せ．

【３】　$x$の方程式

$\cos 2x+2(a+1)\sin x$$+\sqrt{2}(a-1)\{\sin (x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})+\sin (x-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\left)\right\}$$+1-2b^2=0$

が$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲に相異なる$2$つの解をもつための．定数$a\text{，}b$の満たす条件を求め，これを$ab$平面上に図示せよ．

【４】　$3$次関数

$f(x)=x^3-3a^{2}x+1\text{（}a>0\text{）}$

の極大値，極小値を与える$x$の値を，それぞれ$x_1\text{，}{x}_2$とする．

(1)　$x_1$および$x_2$を求めよ．

(2)　$2$点$\mathrm{P}(x_1,f(x_1))\text{，}\mathrm{Q}(x_2,f(x_2))$を通る直線と曲線$y=f(x)$の交点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．ただし，$\mathrm{R}$は$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$のいずれとも異なる点とする．

(3)　曲線$y=f(x)$の$\mathrm{R}$における接線と$2$直線$y=f(x_1)\text{，}y=f(x_2)$との交点をそれぞれ$\mathrm{H}\text{，}\mathrm{K}$とするとき，$\mathrm{H}$および$\mathrm{K}$の座標を求めよ．

(4)　直線$\mathrm{PQ}$と曲線$y=f(x)$で囲まれた部分の面積を$S_1$とし，$▵\mathrm{RHP}$と$▵\mathrm{RKQ}$の面積の和を$S_2$とするとき，${\displaystyle \frac{S_1}{S_2}}$を求めよ．

【２】　$xyz$空間において，原点$\mathrm{O}$を通り$y$軸となす角が$\theta (0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$であるような，$yz$平面上の直線$m$と$x$軸で決まる平面を$\alpha$とする．$xy$平面に垂直な直線が$xy$平面上の円$x^2+y^2=r^2\text{（}r>0\text{）}$の周上を一周するときできる図形を，平面$\alpha$で切ったときの切り口の$2$次曲線を$C$とする．$x$軸を軸として$-\theta$だけ回転させると，$\alpha$上の点$\mathrm{P}(x,y,z)$および曲線$C$は，$xy$平面上の点${\mathrm{P}}^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime },0)$および曲線$C^{\prime }$にそれぞれ移される．

(1)　$\alpha$の方程式を求めよ．

(2)　$x^{\prime }\text{，}{y}^{\prime }$を$x\text{，}y\text{，}z$で表し，$C^{\prime }$の方程式を求めよ．

(3)　$C^{\prime }$の焦点の座標を求めよ．

【３】　図のように，半径$1$の半円周上に等間隔に点${\mathrm{P}}_1\text{（}=\mathrm{A}\text{），}{\mathrm{P}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{P}}_n\text{，}{\mathrm{P}}_{n+1}\text{（}=\mathrm{B}\text{）}$をとる．この中の$n$個の点${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{P}}_n$から$1$点${\mathrm{P}}_k\text{（}1\leqq k\leqq k\text{）}$を任意に選ぶ．

(1)　$2\leqq k\leqq n$のとき$▵\mathrm{AB}{\mathrm{P}}_k$の面積を$S_k$とする．$S_k$を求めよ．

(2)　$S_1\text{（}=0\text{），}{S}_2\text{，}\cdots \text{，}{S}_n$を等確率でとる確率変数を$S$とし，$S$の期待値を$E(S)\text{，}$分散を$V(S)$とする．$n=4$のときの期待値と分散を計算せよ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }E(S)$と$\underset{n\to \infty }{\lim }V(S)$を求めよ．

【４】　曲線

$y=\log x\text{，}1\leqq x\leqq e$（対数は自然対数，$e$は自然対数の底）

の上に任意に$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$をとるとき，線分$\mathrm{PQ}$の中点$\mathrm{R}(s,t)$の動く範囲を$D$とする．ただし，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が一致するとき$\mathrm{R}$も$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$と同じ点を表すものとする．

(1)　$s\text{，}t$の満たす条件を求めよ．

(2)　$D$の面積を求めよ．