1989　札幌医科大学MathJax

【１】　$2$つの行列$A=\left(\begin{array}{cc}{\sin }^2{\displaystyle \frac{\theta }{2}}& {\displaystyle \frac{\sin \theta }{2}}\\ {\displaystyle \frac{\sin \theta }{2}}& {\cos }^2{\displaystyle \frac{\theta }{2}}\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}{\cos }^2{\displaystyle \frac{\theta }{2}}& {\displaystyle \frac{\sin \theta }{2}}\\ {\displaystyle \frac{\sin \theta }{2}}& {\sin }^2{\displaystyle \frac{\theta }{2}}\end{array}\right)$とベクトル$\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\end{array}\right)$がある．

　$\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2}=a\text{（}a\ne 0\text{）}$とする．

(1)　$AB-BA$を計算せよ．

(2)　$AB-BA=D$とおくとき，$\overrightarrow{a}$と$D\overrightarrow{a}$は直交することを示せ．

(3)　$D$を(2)の行列とし，ベクトル$\overrightarrow{a_n}$を$\overrightarrow{a_n}=D\overrightarrow{a_{n-1}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$で定める（ただし，$\overrightarrow{a_0}=\overrightarrow{a}$とする）とき，${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}|\overrightarrow{a_n}-\overrightarrow{a_{n-1}}|$を求めよ．

【２】　$x>0$で定義された微分可能な関数$f(x)$がある．曲線$y=f(x)$は点$(1,4)$を通り，曲線上の各点$(x,f(x))$における接線と$x$軸との交点の$x$座標は${\displaystyle \frac{3}{2}}x$である．

(1)　$f(x)$を求めよ．

(2)　点${\mathrm{P}}_i(a_i,f(a_i))$における曲線$y=f(x)$の接線が$x$軸と交わる点${\mathrm{Q}}_{i+1}$の$x$座標を$a_{i+1}$とし，台形${\mathrm{P}}_i{\mathrm{Q}}_i{\mathrm{Q}}_{i+1}{\mathrm{P}}_{i+1}$の面積を$s_i\text{（}i=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$とする．ただし，$a_1=1$で，${\mathrm{Q}}_1$は座標が$(1,0)$である点とする．このとき$S_n={\displaystyle \sum _{i=1}^n}{s}_i\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$を求めよ．

(3)　(2)で求めた$S_n$に対して$S=\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$とするとき，

$S-\underset{t\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_1^t}f(x)dx$

を求めよ．

【３】　連続関数$f(x)\text{，}g(x)$はすべての実数$x$に対して，

$g(x)={\displaystyle {\int }_x^{x+1}}t{e}^{-t}f(x-t)dt$

を満たしている．さらに$g(x)$は$x=1$で極値$1$をとる．

(1)　$a={\displaystyle {\int }_{-1}^0}{e}^{x}f(x)dx\text{，}b={\displaystyle {\int }_{-1}^0}x{e}^{x}f(x)dx$を求めて，$g(x)$を決定せよ．

(2)　正の実数$t$に対して，曲線$y=g(x)$と$x$軸および$2$直線$x=t\text{，}x=t+1$で囲まれる図形の面積$S(t)$が最大となる$t$の値と，その最大値を求めよ．

【４】　$n$個のサイコロ${\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{A}}_n$を同時に投げる．${\mathrm{A}}_i$の出る目の数を$X_i\text{（}i=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$とし，$X_1\text{，}{X}_2\text{，}\cdots \text{，}{X}_n$の最大値を$X\text{，}$最小値を$Y$とする．

(1)　$X$が$2$以下となる確率$P(X\leqq 2)$を求めよ．

(2)　$X$が$k\text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}6\text{）}$となる確率$P(X=k)$を求めよ．

(3)　$E(X)-E(Y)$を求めよ．

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }(E(X)-E(Y))$を求めよ．