1989　名古屋市立大　Ａ日程MathJax

【１】　空間内の$3$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,1,\sqrt{3})$で定まる平面上で$\angle \mathrm{AOB}$を$2$等分する直線を$l$とする．

(1)　直線$l$の方向ベクトルで長さ$1$のものを求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$が直線$l$上を動くとき，${\displaystyle \frac{\left|\overrightarrow{\mathrm{PA}}\right|}{\left|\overrightarrow{\mathrm{PB}}\right|}}$の最大値および最小値を求めよ．

【２】　$f(x)=3x^4-4x^3-12x^2+13$とする．

(1)　方程式$f(x)=0$は，$2$つの実数解をもつことを示せ．

(2)　(1)の$2$つの実数解のうち，小さい方を$\alpha$として

${\displaystyle {\int }_0^{\alpha }}f(x)dx$

を求めよ．

【３】　双曲線

$x^2-y^2=1$

上の$1$点$\mathrm{P}(x_0,y_0)$から円$x^2+y^2=1$に引いた$2$本の接線の両端点を通る直線を$l$とする．ただし，$y_0\ne 0$とする．

(1)　直線$l$は，方程式$x_{0}x+y_{0}y=1$で与えられることを示せ．

(2)　直線$l$は，双曲線に接することを証明せよ．

【４】　任意の実数$p$と$q$に対して

${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}(px+q)(a\sin x+b\cos x+1)dx=0$

が成り立つような$a$と$b$を求めよ．

【５】　$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$とし，定数$a\text{，}b\text{，}c$は

${\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{a}{3}}+{\displaystyle \frac{b}{2}}+c=0$

を満たす．

(1)　$f(x)=0$の実数解は，$0$と$1$の間に少なくとも$1$つあることを示せ．

(2)　$y=f(x)$は，$x=m\text{，}x=-m$でその絶対値が等しい極値をとる．このとき，その極値を求めよ．

【６】　$\left(\begin{array}{c}{p}_0\\ q_0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)\text{，}A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$とする．$1$個のコインを続けて投げ，$i$回目に

表が出れば，$\left(\begin{array}{c}{p}_i\\ q_i\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}{p}_{i-1}\\ q_{i-1}\end{array}\right)\text{，}$裏が出れば，$\left(\begin{array}{c}{p}_i\\ q_i\end{array}\right)=B\left(\begin{array}{c}{p}_{i-1}\\ q_{i-1}\end{array}\right)\text{，}$

とする．（$i=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　$p_5>q_5$である確率を求めよ．

(2)　$p_3$の期待値を求めよ．

(3)　$p_2\geqq 4$であった．このとき，$p_4<10$である確率を求めよ．