1990　東北大学　後期MathJax

【１】　図形$C:7x^2+3y^2-4\sqrt{3}xy=9$について，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　図形$C$を原点のまわりに$30°$だけ回転した図形の方程式を求めよ．

(ⅱ)　図形$C$を円$x^2+y^2=1$にうつす$1$次変換を表す行列

$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\text{（}a\text{，}b\text{，}c\text{，}d\text{は実数，}ad-bc>0\text{）}$

で，点$(\sqrt{3},1)$を点$(1,{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}})$にうつすものを求めよ．

【２】　$a$を$0<a<1$なる数とし，$2$つの放物線

$C_1:y=-3x^2\text{，}{C}_2:y=3x^2-18ax+12a^2$

によって囲まれる図形の$x\leqq 1$の部分の面積を$S$とする．

(ⅰ)　$0<a\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，$S$を$a$で表せ．

(ⅱ)　${\displaystyle \frac{1}{2}}<a<1$のとき，$S$を$a$で表せ．

(ⅲ)　$0<a<1$における$S$の最大値と，そのときの$a$を求めよ．

【３】　$xy$平面の原点を$\mathrm{O}\text{，}$放物線$y^2=x$上の点を$\mathrm{P}\text{，}$放物線$y=x^2$上の点を$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{Q}$における$y=x^2$の接線と$x$軸の交点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$を$\mathrm{P}\ne \mathrm{O}\text{，}\mathrm{Q}\ne \mathrm{O}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OP}}\perp \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$となるように動かし，位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を

$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=p\overrightarrow{\mathrm{OP}}+q\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\text{（}p\text{，}q\text{は実数）}$

と表す．$p$と$q$の関係を求め，点$(p,q)$の描く図形をかけ．

【４】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{5}{2}}x(1-x)$について考える．

(ⅰ)　${\displaystyle \frac{2}{5}}<x<{\displaystyle \frac{4}{5}}\text{，}x\ne {\displaystyle \frac{3}{5}}$のとき，不等式

$-1<{\displaystyle \frac{f(x)-{\displaystyle \frac{3}{5}}}{x-{\displaystyle \frac{3}{5}}}}<0$

が成り立つことを示せ．

(ⅱ)　数列$\{x_n\}$を

$x_0={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}{x}_{n+1}=f(x_n)\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

により定義する．

$x_0<x_2<\cdots <x_{2k}<x_{2k+2}<\cdots <{\displaystyle \frac{3}{5}}$$<\cdots <x_{2k+3}<x_{2k+1}<\cdots <x_3<x_1$

となることを示せ．

【１】　行列

$A=\left(\begin{array}{cc}1& -a\\ a& b\end{array}\right)\text{（}a\text{，}b\text{は実数で，}a>0\text{）}$

により表される一次変換

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

について考える．

(ⅰ)　$A^2+A+E=O$を満たすように$A$を定めよ．ここで$E$は単位行列，$O$は零行列を表すものとする．

(ⅱ)　原点を$\mathrm{O}(0,0)\text{，}$直線$x=2$上の点を$\mathrm{P}(2,p)$とし，(ⅰ)で定められた行列$A$による一次変換で，点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{Q}$にうつるものとする．

$\left|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\right|\leqq \left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|$

となるような，$p$の範囲を求めよ．

(ⅲ)　(ⅱ)の大きさの比${\displaystyle \frac{|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|}}$の最大値を求めよ．

【２】　$n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots$に対し，

${\mathrm{H}}_n=\{(a,b,c)|a\text{，}b\text{，}c\text{は負でない整数で}a+b+c=n\}$

とおき，${\mathrm{H}}_n$の要素の個数を$h_n$とおく．和

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{h_n}}$

を求めよ．

【３】　$xyz$空間の中の$2$点$\mathrm{A}(1,0,1)\text{，}\mathrm{B}(-1,0,1)$を結ぶ線分を$L$とし，$xy$平面における円$x^2+y^2\leqq 1$を$D$とする．点$\mathrm{P}$が$L$上を動き，点$\mathrm{Q}$が$D$上を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$が動いてできる立体を$H$とする．平面$z=t\text{（}0\leqq t\leqq 1\text{）}$による立体$H$の切口$H_t$の面積$S_t$と，$H$の体積$V$を求めよ．

【４】　関数$f(x)$は微分可能で，すべての$x\text{，}y$にたいして次の等式

$2f\left({\displaystyle \frac{x+y}{2}}\right)=f(x)+f(y)$

を満たしているとする．

(ⅰ)　$f(0)=0$のとき$f(x)$を求めよ．

(ⅱ)　(ⅰ)で求めた$f(x)$のうち，次の積分

${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}{\{f(x)-\sin x\}}^{2}dx$

の値を最小にする$f(x)$を求めよ．

【５】　$n$を自然数とし，$xy$平面上に$(n+1)$個の点${\mathrm{P}}_0=(0,0)\text{，}{\mathrm{P}}_1=(1,0)\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{P}}_n$を取る．点${\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{P}}_n$を，

(a)　線分${\mathrm{P}}_{j-1}{\mathrm{P}}_j\text{（}1\leqq j\leqq n\text{）}$の長さは$1$

(b)　線分${\mathrm{P}}_{j-2}{\mathrm{P}}_{j-1}$と線分${\mathrm{P}}_{j-1}{\mathrm{P}}_j$とは互いに直交する（$2\leqq j\leqq n$）

という条件のもとで動かし，このとき得られる線分${\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_n$の長さの最大値を$L_n$で表す．

(ⅰ)　$L_n$を求めよ．

(ⅱ)　極限値

$\underset{m\to \infty }{\lim }(L_{2m+1}-L_{2m})$

を求めよ．

【６】　

(＃)　$f(x)=x^2-2x+{\displaystyle \frac{7}{16}}{\displaystyle {\int }_{-1}^1}|f(x)|dx$

を満たす関数$f(x)$について考える．

(ⅰ)　$k$を負でない実数とするとき，不等式

${\displaystyle {\int }_{-1}^1}|x^2-2x+k|dx\geqq {\displaystyle \frac{4}{3}}+k$

が成り立つことを示せ．

(ⅱ)　$f(x)=x^2-2x+k\text{（}k\geqq 1\text{）}$の形の(＃)の解を求めよ．

(ⅲ)　$f(x)=x^2-2x+k\text{（}1>k\geqq 0\text{）}$の形の(＃)の解は存在するか．存在するならその解を求め，存在しないならそのことを示せ．