1990　筑波大学　前期

【１】　座標平面上において，$2$点$\mathrm{A}(4,1)\text{，}\mathrm{B}(0,1)$から点$\mathrm{P}(x,y)$への距離をそれぞれ$a\text{，}b$とし，

$M=\left(\begin{array}{cc}a& 1-a\\ 1+b& -b\end{array}\right)\text{，}N=M^2-2M+(a-b-1)E$

とおく．ただし，$E$は単位行列とする．

　このとき，$M$が逆行列をもち，$N$は逆行列をもたないような点$\mathrm{P}$の軌跡の概形をかけ．

【２】　$0<a<10$とし，

$S_a=\{(x,y)|0\leqq y\leqq -{\displaystyle \frac{x^2}{a}}+10-a\}$

とおく．図形$S_a$を$y$軸のまわりに回転してできる回転体の体積を$V(a)$とする．$V(a)$の最大値とそのときの$a$の値を求めよ．

【３】　$\{a_n\}$を初項$a\text{，}$公比$r$の等比数列とする．$m$を自然数とし

$b_k=a_k{a}_{k+1}\cdots a_{k+m-1}$

とおく．数列$\{b_n\}$の初項から第$n$項までの和を求めよ．

【４】　次の各不等式が成り立つことを示せ．ただし，$\log$は自然対数とする．

(1)　$0<a<b$のとき

$\log {\displaystyle \frac{b}{a}}<{\displaystyle \frac{1}{2}}(b-a)({\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}})$

(2)　$n$が$2$以上の自然数のとき

$\log n<{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{n}}+{\displaystyle \frac{n-1}{2n}}$

【５】　白球$16$個と赤球$2$個がある．これらを$10$個の箱におのおの$2$個ずつ無作為に分配するとき，次の確率を求めよ．

(1)　$1$番目の箱に赤球$2$個が入る確率．

(2)　赤球$2$個が入った箱がちょうど$1$つできる確率．

【６】　平面上を動く点$\mathrm{P}$の時刻$t$における座標を$(x(t),y(t))$とする．時刻$t=0$で$\mathrm{P}$は原点にあり，時刻$t$での速さは$\sqrt{2-y(t)}$であり，速度ベクトルの$x$成分はつねに$1$で$y$成分はつねに負である．このとき，$t\geqq 0$での$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．

志望別問題選択一覧

第一学群

　社会学類　【１】〜【３】必須

　自然学類　【１】〜【５】必須

第二学群

　人間学類　代数・幾何，基礎解析選択　【１】〜【３】必須

　人間学類　基礎解析，微分・積分選択　【１】，【３】，【４】必須

　生物学類　【１】〜【５】必須

　農林類　【１】，【２】，【４】から２題選択

第三学群

　社会工学類　【１】〜【３】必須，【４】，【６】から選択

　国際総合学類　【１】〜【３】必須

　情報学類，基礎工学類　【１】〜【５】必須