1990　大阪大学　後期MathJax

【１】(1)　$\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{1-\cos x}{x^2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$を証明せよ．

(2)　$0<x<\pi$のとき$x-\sin x<x(1-\cos x)$が成り立つことを証明せよ．

(3)　$a>0$とする．曲線$y=\sqrt{x+a}\sin {\displaystyle \frac{x}{a}}\text{（}0\leqq x\leqq 1\text{）}$を$x$軸のまわりに回転してできる回転体の体積を$V(a)$とする．$V(a)$の値を求めよ．

(4)　$\underset{a\to \infty }{\lim }V(a)$を求めよ．

【２】　数列$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3\text{，}\cdots$があるとき，新しい数列$b_1\text{，}{b}_2\text{，}{b}_3\text{，}\cdots$を次の漸化式

$b_1=a_1$

$b_2=a_2{b}_1-1$

$b_{n+2}=a_{n+2}{b}_{n+1}-b_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定義する．

(1)　すべての$a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$が$2$以上の自然数であれば

$b_{n+1}>b_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

が成り立つことを証明せよ．

(2)　すべての$a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$が$3$以上の自然数であれば，任意の自然数$k$について

${\displaystyle \sum _{n=1}^k}{\displaystyle \frac{1}{b_n}}<1$

が成り立つことを証明せよ．

(3)　すべての$a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を$2$以上の自然数とする．等式

$b_{N+1}=2b_N+2$

をみたす自然数$N$があるとき，初めの$N+1$項$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_{N+1}$を決定せよ．

【３】　図のように原点$\mathrm{O}$を通り$x$軸となす角が${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$となる直線$l$を考える．今$x$軸の正の部分に定点$\mathrm{Q}$をとる．光が角$\theta$で${\mathrm{P}}_1=\mathrm{Q}$に入り，角$\theta$で出てゆく．この光が直線$l$上の点${\mathrm{P}}_2$で同様に反射し，続いて$x$軸上の点${\mathrm{P}}_3$で反射するものとする．このように$x$軸および直線$l$で交互に反射をくり返す点を${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3\text{，}\cdots$とする．

(1)　このような反射は有限回しかおこらないことを示せ．

(2)　これらの点${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3\text{，}\cdots$のうち原点$\mathrm{O}$に最も近い点を${\mathrm{P}}_n$とする．ただし，$\mathrm{O}$に最も近い点が$2$点以上ある場合は番号$n$の最も大きい点${\mathrm{P}}_n$をとる．$0<\theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$なる$\theta$に対して，上の点${\mathrm{P}}_n$の$n$を求め，さらに$\theta$と$n$の関係をグラフにかけ．

【４】　$n$は$3$以上の自然数とする．円周$x^2+y^2=1$を$n$等分する点

${\mathrm{Q}}_k(\cos {\displaystyle \frac{2k\pi }{n}},\sin {\displaystyle \frac{2k\pi }{n}})\text{（}k=0\text{，}1\text{，}\cdots \text{，}n-1\text{）}$

が与えられている．袋に$1$から$n-1$までの番号のついた$n-1$枚のカードがはいっている．この袋から無作為に$1$枚ずつ$2$回カードをとりだし，$1$回目のカ−ドの番号を$X\text{，}2$回目のカードの番号を$Y$とする．ただし，とりだしたカードはもとに戻さないものとする．三角形${\mathrm{Q}}_0{\mathrm{Q}}_X{\mathrm{Q}}_Y$が二等辺三角形になる確率$p_n$を次の場合に求めよ．

(1)　$n=6$のとき．

(2)　$n$は偶数であるが，$3$の倍数でないとき．

【１】　$a$を正の定数とし，曲線$y=x(a-x)$を$C\text{，}x=t\text{（}0<t<a\text{）}$のときの$C$上の点$\mathrm{P}$における接線を$l$とする．また，直線$l$と$y$軸との交点を$\mathrm{A}\text{，}$点$(t,0)$を$\mathrm{B}\text{，}$原点を$\mathrm{O}$とする．

　このとき，次のものを求めよ．

(1)　曲線$C$と線分$\mathrm{OB}$および線分$\mathrm{PB}$で囲まれた部分の面積$S$

(2)　曲線$C$と直線$l$および$y$軸で囲まれた部分の面積$T$

(3)　$S=T$となるときの$t$の値と比${\displaystyle \frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{PB}}}$の値．

【２】　方程式${\displaystyle \frac{{(x-c_n)}^2}{{a_n}^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{k^2{a_n}^2}}=1$で表されるだ円$E_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$の列を考える．どの$E_n$も直線$y=mx\text{（}m>0\text{）}$に接し，かつ，$E_n$と$E_{n+1}$はただ$1$点を共有している．ただし，$c_1>0\text{，}{c}_n>c_{n+1}\text{，}{a}_n>0\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$とする．

(1)　$m$を$a_1\text{，}{c}_1\text{，}k$を用いて表せ．

(2)　${\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}$を$a_1$と$c_1$で表せ．

(3)　だ円$E_n$の内部の面積を$S_n$とするとき，${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{S}_n$を$a_1\text{，}{c}_1\text{，}k$で表せ．ただし，だ円${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1\text{（}a>0\text{，}b>0\text{）}$の内部の面積は$\pi ab$である．

【３】　点$\mathrm{A}(-1,0,0)$を中心とする半径$r_1$の球${\mathrm{O}}_1$の内部に，点$\mathrm{B}(1,0,0)$を中心とする半径$r_2$の球${\mathrm{O}}_2$が含まれている．球${\mathrm{O}}_1$に内接し，かつ球${\mathrm{O}}_2$に外接する球の中心$\mathrm{P}$全体がつくる曲面を$S$とする．

(1)　曲面$S$の$xy$平面による切り口$C$の$xy$平面上での方程式を求めよ．

(2)　曲面$S$によって囲まれる部分の体積$V$を求めよ．

【４】　以下の文中の$\boxed{}$に適する数または式を解答用紙の指定されたところに記入せよ．

(1)　正の整数$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3\text{，}{a}_4$がこの順に等比数列をなし，公比$r$が整数でなく，かつ$r>1$であるとき，$a_4$のとりうる値の最小値は$\boxed{\text{(ア)}}$であり，このとき，$a_{\mathrm{}}=\boxed{\text{(イ)}}$となる．

【４】　以下の文中の$\boxed{}$に適する数または式を解答用紙の指定されたところに記入せよ．

(2)　公比$r$が$1$より大きい無限等比数列$\{a_n\}$において，第$17$項$a_{17}$の平方が第$24$項$a_{24}$に等しいとき，$a_1{r}^9=\boxed{\text{(ウ)}}$であり，また，${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{a_k}}<{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$となる最小の自然数$n$の値は$\boxed{\text{(エ)}}$である．

【４】　以下の文中の$\boxed{}$に適する数または式を解答用紙の指定されたところに記入せよ．

(3)　$f(x)={\displaystyle \sum _{k=1}^{10}}k|x-k|$とする．このとき，$x<1$では$f^{\prime }(x)=\boxed{\text{(オ)}}\text{，}x>10$では$f^{\prime }(x)=\boxed{\text{(カ)}}$であり，$1\leqq n\leqq 9$をみたす整数$n$に対し，$n<x<n+1$においては$f^{\prime }(x)=\boxed{\text{(キ)}}$となる．また，$f(x)$は$x=\boxed{\text{(ク)}}$において最小値をとる．