1991　京都大学　後期MathJax

【１】　原点$\mathrm{O}$を中心とする単位円周上に相異なる点${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3\text{，}{\mathrm{P}}_4$があって$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_1}+\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_2}+\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_3}+\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_4}=\overrightarrow{0}$となっている．このとき${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3\text{，}{\mathrm{P}}_4$はある長方形の頂点となることを示せ．

【２】　平面上の正方形の列$S_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$を次の条件(ⅰ)〜(ⅳ)を満たすようにとる．

(ⅰ)　$S_n$の$1$つの辺は$x$軸に含まれる．

(ⅱ)　$S_n$の$1$つの頂点は双曲線$xy=1$上にある．

(ⅲ)　$S_{n+1}$は$S_n$と異なり，$S_{n+1}$の$1$つの辺は$S_n$のある辺に含まれる．

(ⅳ)　$S_1$の頂点は$(0,0)\text{，}(0,1)\text{，}(1,0)\text{，}(1,1)$である．

　$S_1$の頂点で$xy=1$上にあるものの座標を$(x_n,y_n)$とする．このとき${x_n}^2\geqq n$となることを示せ．

【３】　$C$を$3$次曲線$y=x^3+3x^2$とする．$C$上の点$\mathrm{P}(p,q)$に対し「$C$上の点$\mathrm{Q}$が存在して，$C$の$\mathrm{P}$における接線は$C$の$\mathrm{Q}$における接線と直交する」となるような$p$の範囲を求めよ．

【４】　平面上で次の方程式$\text{①}$を満たす点全体の集合を$C_1\text{，}\text{②}$を満たす点全体の集合を$C_2$とする．

$x^2+y^2-1=0\cdots \text{①}$

$10x^2+14xy+5y^2=1\cdots \text{②}$

(1)　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$は負でない整数で$ad-bc>0$を満たしている．さらに$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$の定める$1$次変換$f$が$C_2$を$C_1$に写している．すなわち$f(C_2)=C_1$である．このとき$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を求めよ．

(2)　$C_2$上の点で$x$座標，$y$座標とも整数であるものは何個あるか．

【５】　$1$から$n$までの相異なる$n$個の自然数（$n\geqq 4$）の中から無作為に$2$個を取り出し，大きい方を$X_1\text{，}$小さい方を$Y_1$とする．つぎに残りの$(n-2)$個の自然数の中から無作為に$2$個を取り出し，大きい方を$X_2\text{，}$小さい方を$Y_2$とする．

(1)　$X_1+Y_1$の期待値を求めよ．

(2)　$X_1$の期待値を求めよ．

(3)　$Y_2$の期待値を求めよ．

【１】　$f(x)$は$x$に関する$n$次の整式（多項式）とする（$n\geqq 0$）．

(1)　$2$変数$x\text{，}y$の整式として

$f(x+y)=P_0(x)+P_1(x)y+P_2(x)y^2+\cdots +P_n(x)y^n$

と書き表す．たfだし$P_i(x)\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$は$x$に関する整式である．このとき

$P_0(x)=f(x)\text{，}{P}_1(x)=f^{\prime }(x)\text{，}{P}_2(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}{f}^{″}(x)$

かつ$P_n(x)=\text{「}f(x)\text{における}{x}^n\text{の係数」}$

であることを示せ．

(2)　ある定数$a$があって，$f(x+y)-f(x)=y{f}^{\prime }(x+cy)$が成立すれば$f(x)$の次数は$2$以下であることを示せ．

【２】　整数を係数とする$3$次の多項式$f(x)$が次の条件(＊)を満たしている．

(＊)　任意の自然数$n$に対し$f(n)$は$n(n+1)(n+2)$で割り切れる．

　このとき，ある整数$a$があって，$f(x)=ax(x+1)(x+2)$となることを示せ，

【１】　$-1\leqq x\leqq 1$で定義された関数$y=f(x)$は次の(ⅰ)，(ⅱ)を満たしている．

(ⅰ)　$\sin f(x)=1-x^2$

(ⅱ)　$0\leqq f(x)\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

(1)　$x$を$y$の関数として表し，$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．

(2)　$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

【２】　$1$辺の長さ$2\mathrm{cm}$の正$4$面体を，$1$つの面を下にして水平面上に置く．この正$4$面体の各辺の中点を頂点とする正$8$面体$H$を中空の容器と考える．

(1)　容器$H$の高さ$h_0(\mathrm{cm})$を求めよ．

(2)　水を毎秒$1{\mathrm{cm}}^3$の割合で$H$に注入するとき，水面の高さが$h\mathrm{cm}\text{（}0\leqq h\leqq h_0\text{）}$になるまでに要する時間$t$（秒）を求めよ．

【３】　空間に原点を始点とする長さ$1$のベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$がある．$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$のなす角を$\gamma \text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$のなす角を$\alpha \text{，}\overrightarrow{c}\text{，}\overrightarrow{a}$のなす角を$\beta$とするとき，つぎの関係の成立することを示せ．またここで等号の成立するのはどのような場合か．

$0\leqq {\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma -2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma \leqq 1$

【６】(1)　任意の定数$a$に対して$e^x\geqq e^a+(x-a)e^a$が成り立つことを示せ．

(2)　${\displaystyle {\int }_0^1}{e}^{\sin \pi x}dx\geqq e^{\frac{2}{\pi }}$を示せ．