1991　大阪大学　後期MathJax

【１】　条件$a\geqq b$をみたす正の整数$a\text{，}b$から数列$\{r_n\}$を，$r_1=a\text{，}{r}_2=b\text{，}n\geqq 3$に対して

$r_n=\{\begin{array}{ll}{r}_{n-2}\text{を}{r}_{n-1}\text{で割った余り}& \text{（}{r}_{n-1}>0\text{のとき）}\\ 0& \text{（}{r}_{n-1}=0\text{のとき）}\end{array}$

によって定める．また，数列$\{f_n\}$を$f_1=0\text{，}{f}_2=1\text{，}{f}_n=f_{n-1}+f_{n-2}$（$n\geqq 3$のとき）によって定める．このとき，以下のことがらを示せ．

(1)　$r_N>0\text{，}{r}_{N+1}=0$となる整数$N$が存在する．

　以下，$N$はこの整数をあらわす．

(2)　$r_{N+2-k}\geqq f_k\text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}N+1\text{）}$

(3)　$f_{n+1}\geqq {\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^{n-2}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

(4)　$N\leqq 2+{\log }_{\frac{3}{2}}a$

【２】　$xy$平面上において，行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)$（ただし，$a^2+b^2\ne 0$）の表す$1$次変換を$f$とし，直線$x=1$と$y=1$を$f$で移してえられる直線をそれぞれ$l$と$m$で表す．

(1)　$l$と$m$の方程式を求め，$l$と$m$が直交することを示せ．

(2)　$4$本の直線$x=1\text{，}y=1\text{，}l\text{，}m$のうち$3$本が$1$点を共有するために$a\text{，}b$がみたす条件を求めて，点$(a,b)$の存在する範囲を$ab$平面に図示せよ．

【３】　$C$を$xy$平面の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$x^2+y^2=1$とする．$\alpha$は$0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$をみたすものとする．$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\alpha$に対して$C$上に$2$点

${\mathrm{P}}_1=(\cos \theta ,\sin \theta )\text{，}$${\mathrm{P}}_2=(\cos (\theta +\alpha ),\sin (\theta +\alpha ))$

をとる．${\mathrm{P}}_1$と原点$\mathrm{O}$を通り$x$軸を軸とする放物線を$D_1$とし，${\mathrm{P}}_2$と$\mathrm{O}$を通り$x$軸を軸にもつ放物線を$D_2$とする．ただし，${\mathrm{P}}_1$が$x$軸上にあるときは$D_1$として$x$軸の$x\geqq 0$の部分をとり，${\mathrm{P}}_2$が$y$軸上にあるときは$D_2$として$y$軸をとる．

　第$1$象限に含まれる円弧$\stackrel{⏜}{{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2}$と$D_1\text{，}{D}_2$で囲まれる図形を，$y$軸の周りに$1$回転してできる回転体の体積を$V(\theta )$とおく．

(1)　第$2$次導関数$f^{″}(\theta )\geqq 0$をみたす$f(\theta )$がとれて

$V(\theta )=f(\theta )-f(\theta +\alpha )$

と表されることを示せ．

(2)　$\theta$が区間$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\alpha$を動くとき，$V(\theta )$の最大値と最小値を求めよ．

【１】　$2$次の正方行列$A\text{，}B$は

$AB=-BA\text{，}{A}^2=B^2=E$

をみたしているとする．ここで，$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$である．

(1)　${(3A+B)}^{100}$を計算せよ．

(2)　$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$のとき，$B$の表す一次変換により曲線$x^2-y^2=1$はどのような曲線にうつるか．その曲線の方程式を求めよ．

【２】　中心$\mathrm{O}\text{，}$半径$1$の円周上に，反時計回りの順に$4$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$が並んでいる．$\mathrm{D}$を含む弧$\stackrel{⏜}{\mathrm{CA}}$の中点を${\mathrm{D}}_1\text{，}\mathrm{C}$を含む弧$\stackrel{⏜}{\mathrm{B}{\mathrm{D}}_1}$の中点を${\mathrm{C}}_1$とする．

(1)　四角形$\mathrm{AB}{\mathrm{C}}_1{\mathrm{D}}_1$の面積は四角形$\mathrm{ABCD}$の面積より小さくないことを証明せよ．

(2)　さらに，${\mathrm{D}}_1$を含む弧$\stackrel{⏜}{{\mathrm{C}}_1\mathrm{A}}$の中点を${\mathrm{D}}_2\text{，}{\mathrm{C}}_1$を含む弧$\stackrel{⏜}{\mathrm{B}{\mathrm{D}}_2}$の中点を${\mathrm{C}}_2$とする．以下同様にくり返して，円周上の点列$\{{\mathrm{C}}_n\}\text{，}\{{\mathrm{D}}_n\}$をつくる．

　${\alpha }_n=\angle {\mathrm{D}}_n\mathrm{OA}\text{，}{\beta }_n=\angle \mathrm{BO}{\mathrm{C}}_n$とおくとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\alpha }_n$と$\underset{n\to \infty }{\lim }{\beta }_n$を$\theta =\angle \mathrm{AOB}$を用いて表せ．ただし，円周上の$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$に対して，$\angle \mathrm{POQ}$は$\mathrm{P}$から$\mathrm{Q}$まで反時計回りにはかるものとする．

【３】　$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対し

$h_n(t)=\{\begin{array}{ll}1-n|t|& (|t|\leqq {\displaystyle \frac{1}{n}}\text{のとき})\\ 0& (|t|>{\displaystyle \frac{1}{n}}\text{のとき})\end{array}$

とする．

$f_n(x)=n{\displaystyle {\int }_{-1}^1}{h}_n(t)\sin (x-t)dt$

とおくとき，

(1)　$f_n(x)$を求めよ．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(x)$を求めよ．

【４】　以下の文中の$\boxed{}$に適する数または式を解答用紙の指定されたところに記入せよ．

(1)　曲線$y=x^2$上の点$\mathrm{P}(a,a^2)\text{（}a\ne 0\text{）}$における接線と直交し，点$\mathrm{P}$を通る直線$y=\boxed{\text{(ア)}}$と，曲線$y=x^2$との$\mathrm{P}$と異なる交点$\mathrm{Q}$の座標は$\boxed{\text{(イ)}}$となる．点$\mathrm{Q}$を一つの頂点とし，$\mathrm{P}$における接線上に他の$2$頂点をもつ正三角形の面積$S$は$\boxed{\text{(ウ)}}$であり，点$\mathrm{P}$が曲線$y=x^2\text{（}x>0\text{）}$上を動くとき，$S$を最小にする$a$の値は$\boxed{\text{(エ)}}$である．

【４】　以下の文中の$\boxed{}$に適する数または式を解答用紙の指定されたところに記入せよ．

(2)　赤玉$1$個，白玉$2$個，青玉$n$個を一列に並べる順列の総数は$\boxed{\text{(オ)}}$である．

　いま，赤玉$1$個，白玉$2$個，青玉$n$個のはいった箱から無作為に玉を$1$個取り出し，箱に戻すという操作を$n+3$回くり返す．このとき，赤玉が$1$回，白玉が$2$回，青玉が$n$回取り出される確率を$P_n$とすると，$P_n=\boxed{\text{(カ)}}$であり，$\underset{n\to \infty }{\lim }{P}_n=\boxed{\text{(キ)}}$となる．