1992　北海道大学　前期MathJax

【１】(1)　$a$がすべての実数を動くとき，

円$C_a:{(x-a)}^2+{(y-a)}^2=a^2+1$

が動く範囲を図示せよ．

(2)　$a$が$0$以上のすべての実数を動くとき，$C_a$が動く範囲を図示せよ．

【２】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$で表される$1$次変換$f$が単位円$x^2+y^2=1$を単位円に移し，さらに単位円上のすべての点$\mathrm{P}$に対して$f(\mathrm{P})\ne \mathrm{P}$とする．このような$1$次変換$f$を決定せよ．

【３】　$r$を$0$でない実数とする．数列$\{a_n\}$を

$a_1=r\text{，}{a}_n=r+{\displaystyle \frac{1}{r}}{a}_{n-1}\text{（}n\geqq 2\text{）}$

で定める．

(1)　$a_n$を求めよ．

(2)　$b_1=r\text{，}{b}_n=a_n+b_{n-1}\text{（}n\geqq 2\text{）}$を満たす数列$\{b_n\}$の第$n$項を求めよ．

【４】　$f(x)=6x^2-x^3$とし，曲線$y=f(x)$を$C$とする．点$(a,f(a))$における$C$の接線の方程式を$y=g(a)x+h(a)$とする．

(1)　$g(a)\text{，}h(a)$を求めよ．

(2)　$x\leqq a$であるすべての$x$に対して，

$g(a)x+h(a)\leqq f(x)$

が成り立つように$a$の範囲を定めよ．

(3)　曲線$C$の接線$l$が$C$と接点のみを共有するように$a$の値を定め，さらに直線$l$と曲線$C$および$y$軸とで囲まれる図形の面積を求めよ．

【１】　行列$A={\displaystyle \frac{1}{3}}\left(\begin{array}{cc}4& 3\\ -7& -6\end{array}\right)$によって表される$1$次変換を$f$とする．

(1)　円$x^2+y^2=1$上の点$\mathrm{P}$の$f$による像を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$を通る直線が原点を通るとき，点$\mathrm{P}$を求めよ．

(2)　正の整数$n$に対して，行列$A^n$で表される$1$次変換による点$(2,2)$の像を求めよ．

【２】　$xyz$空間で$4$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(1,2,0)\text{，}\mathrm{B}(2,0,1)\text{，}\mathrm{C}(0,1,2)$を頂点とする四面体（表面および内部）を$K$とする．$K$の点$\mathrm{P}$から平面$x+y+z=-1$へ垂線を引くとき，その平面との交点を${\mathrm{P}}^{\prime }$とする．$\mathrm{P}$が$K$を動くとき，${\mathrm{P}}^{\prime }$の動く範囲の面積を求めよ．

【３】(1)　定直線$l$が$y=a{x}^2-\sqrt{3}x\text{（}a>0\text{）}$で表されるすべての放物線と定点$\mathrm{A}$で接するとき，$\mathrm{A}$および$l$を求めよ．

(2)　(1)の放物線上の点$\mathrm{P}\text{（}\mathrm{P}\ne \mathrm{A}\text{）}$における接線が$l$と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{QP}}$のなす角が$30\mathrm{°}$であり，さらにこの放物線と$2$つの線分$\mathrm{AQ}\text{，}\mathrm{PQ}$で囲まれる部分の面積が$\sqrt{3}$であるとする．このとき$a$の値を求めよ．

【４】　次の条件$\mathrm{P}$を満たす定数$C$の中で最小のものを求めよ．ただし，対数は自然対数であり，その底$e$の値は$2.718\cdots$である．

$\mathrm{P}$：$2\leqq x\leqq y$を満たすすべての実数$x\text{，}y$に対して不等式${\displaystyle \frac{\log y}{y}}\leqq C{\displaystyle \frac{\log x}{x}}$が成り立つ．

【５】(1)　正の実数$p\text{，}q$に対して，

${\displaystyle {\int }_0^1}{x}^p{(1-x)}^{q}dx\leqq {\displaystyle \frac{1}{q+1}}$

を示せ．

(2)　第$n$項$a_n$が次式で与えられるとき，無限級数の和${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{a}_n$を求めよ．ただし，$s$は$1$より大きい実数とする．

$a_n={\displaystyle \frac{1}{n^{s+1}}}{\displaystyle {\int }_0^n}{x}^s{(1-{\displaystyle \frac{x}{n}})}^{n}dx$

【３】　$x\geqq 0$における関数$f(x)$を，

$f(x)=-x\log x\text{（}x>0\text{），}f(0)=0$

で定義する．ただし，対数は自然対数であり，その底$e$の値は$2.718\cdots$である．

(1)　$0<x\leqq 1$のとき${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}\geqq -\log x$が成立することを示し，$\underset{x\to +0}{\lim }f(x)$を求めよ．

(2)　関数$g(x)=f(x)+f(1-x)$の$0\leqq x\leqq 1$における最大値と最小値を求めよ．

【４】　無限級数

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{2^{n-1}(e^{(n+1)x}-e^{(n-1)x})}{{(1+e^{2x})}^n}}$

は任意の実数$x$で収束することを示し，その和を$f(x)$とするとき，${\displaystyle {\int }_1^2}f(x)dx$を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

【５】　円周$x^2+y^2=1$を$6$等分する点

${\mathrm{A}}_k(\cos {\displaystyle \frac{k\pi }{3}},\sin {\displaystyle \frac{k\pi }{3}})\text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}6\text{）}$

がある．

(1)　これらの点を次の規則で移動する動点$\mathrm{Q}$がある．$4$個の硬貨を同時に投げる試行をし，表がちょうど$2$個出たとき反時計まわりに隣の点に移動し，それ以外のときは時計まわりに隣の点に移動する．動点$\mathrm{Q}$は最初${\mathrm{A}}_1$にあるものとして，この試行を$4$回繰り返した後$\mathrm{Q}$が${\mathrm{A}}_3$にある確率を求めよ．

(2)　平面上に定点$\mathrm{A}(a,b)$がある．$2$個のさいころを投げて$k$の目が出たとき，確率変数$X$を$X={\left|\overrightarrow{\mathrm{A}{\mathrm{A}}_k}\right|}^2$で定義する．このとき$X$の期待値$E(X)$を求めよ．