1992　筑波大学　前期

【１】　対角線が$x$軸，$y$軸上にあるひし形が，楕円${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$に外接している．その$4$つの接点を頂点とする長方形の面積が，ひし形の面積の${\displaystyle \frac{1}{2}}$に等しいとする．このときのひし形の$4$つの頂点の座標を求めよ．

【２】　自然数からなる数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$が次の式で与えられている．

${(3+2\sqrt{2})}^n=a_n+b_n\sqrt{2}\text{，}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$

(1)　数学的帰納法を用いて

${(3-2\sqrt{2})}^n=a_n-b_n\sqrt{2}$

が成り立つことを示せ．

(2)　不等式

$0<2a_n(a_n-b_n\sqrt{2})-1<{\displaystyle \frac{1}{5^{2n}}}$

が成り立つことを示せ．

【３】　関数$f(x)=a{x}^3+b{x}^2-(a+b)x$に対し，次の積分

$I={\displaystyle {\int }_0^1}\{{(f^{\prime }(x))}^2+2f(x)\}dx$

を考える．実数$a\text{，}b$がいろいろな値をとるときの$I$の最小値を求めよ．

【４】　$k$が$0$でない実数の範囲を動くとき，$y=k{x}^4$の形をしたすべての曲線と直交し，さらに点$(1,1)$を通る曲線を求めよ．ただし，$2$つの曲線が直交するとは交点における両曲線の接線が直交することをいう．

【５】　$6$地点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$が一方通行の道で図のように結ばれている．地点$\mathrm{A}$から出発して各地点間を動く点$\mathrm{P}$がある．点$\mathrm{P}$は硬貨を投げて表が出ると実線に沿って，裏が出ると点線に沿って矢印の向きに進み，隣の地点に行くものとする．ただし，表の出る確率と裏の出る確率はともに${\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．

(1)　$3$回続けて硬貨を投げて進んだとき，点$\mathrm{P}$が地点$\mathrm{A}$にいる確率を求めよ．

(2)　$n$回続けて硬貨を投げて進んだとき，点$\mathrm{P}$が地点$\mathrm{A}$にいる確率を求めよ．

(3)　$n$回続けて硬貨を投げて進んだとき，点$\mathrm{P}$が地点$\mathrm{B}$以外にいて，しかも地点$\mathrm{B}$をそれまでにまったく通らない確率を求めよ．

志望別問題選択一覧

第一学群

　社会学類　【１】〜【３】必須

　自然学類　【１】〜【５】必須

第二学群

　人間学類　代数・幾何，基礎解析選択　【１】〜【３】必須

　人間学類　基礎解析，微分・積分選択　【２】〜【４】必須

　生物学類　【１】〜【５】必須

　農林類　【１】，【２】，【４】必須

第三学群

　社会工学類　【１】〜【４】必須

　国際総合学類　【１】〜【３】必須

　情報学類，工学システム学類，基礎工学類　【１】〜【５】必須