1992　東京工業大学　前期MathJax

【１】　$x$の関数${\displaystyle \frac{x^2-2x+k^2}{x^2+2x+k^2}}\text{（}k\geqq 0\text{）}$が$1$以外の整数値をとらないような定数$k$の値の範囲を求めよ．

【２】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$による$xy$平面の$1$次変換$f$が次の$2$つの性質をもつとき，$A$を$a$のみを用いて表せ．

(1)　点$\mathrm{P}(1,1)$に対して$f(\mathrm{P})=\mathrm{P}$が成り立つ．

(2)　平面上の点$\mathrm{X}(x,y)$および${\mathrm{X}}^{\prime }=f(\mathrm{X})$に対して，$\mathrm{X}\text{，}{\mathrm{X}}^{\prime }$から原点$\mathrm{O}$と$\mathrm{P}$を通る直線への垂線をそれぞれ$\mathrm{XH}\text{，}{\mathrm{X}}^{\prime }{\mathrm{H}}^{\prime }$とするとき，$\mathrm{XH}={\mathrm{X}}^{\prime }{\mathrm{H}}^{\prime }$が$\mathrm{X}$のとり方によらず成り立つ．

【３】　$c>1$を定数とする．$xy$平面で，点$(1,c)$を通る直線$l$と放物線$y=x^2$で囲まれる図形の面積を最小にする$l$の傾きを求めよ．またその最小面積を求めよ．

【４】　変数$0\leqq x<1$の関数$f(x)$を次のように定義する．

$f(x)=\{\begin{array}{ll}2x& 0\leqq x<{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ 2x-1& {\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq x<1\end{array}$

さらに$f_1(x)=f(x)$とおき，$f_n(x)$を$f_n(x)=f(f_{n-1}(x))\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$と定義する．

(1)　$f_3(x)$のグラフを描き，$f_3(x)$を式で表せ．

(2)　$k$と$m$を$1\leqq k\leqq 2^m-1$をみたす自然数とし$p={\displaystyle \frac{k}{2^m}}$とおく．極限値

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{f_1(p)+\cdots +f_n(p)}{n}}$

を求めよ．

【５】　$n=1\text{，}2\text{，}\cdots$に対し，

$I_n={(-1)}^n{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}}{\displaystyle \frac{x\cos (2n-1)x}{\cos x}}dx$

とおく．

(1)　$I_n-I_{n-1}$を求めよ．

(2)　$I_3$を求めよ．