1992　一橋大学　後期MathJax

1992-10272-0201

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【１】　 $2$ つの放物線

$\begin{array}{l} y = - x^{2} & \dots ① \\ y = = a x^{2} + b x + c （ a > 0 ） & \dots ② \end{array}$

は共有点をもたないとする．異なる $2$ 直線 $l ， l^{'}$ があって， $l$ は放物線 $① ， ②$ とそれぞれ点 $P ， Q$ で接し， $l^{'}$ は $① ， ②$ とそれぞれ点 $P^{'} ， Q^{'}$ で接している．直線 $l$ と $l^{'}$ の交点を $R$ とする．

(1)　直線 $P P^{'}$ と直線 $Q Q^{'}$ は平行であることを示せ．

(2)　 $▵ P P^{'} R$ と $▵ Q Q^{'} R$ の面積比を求めよ．

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【２】　 $a$ は実数の定数とし，

$f (y) = y^{2} + a y + a^{2} - 1 ， g (x) = 4 x^{3} - 3 x$

とする．

(1)　実数の定数 $c$ に対し， $x$ についての方程式 $g (x) = c$ の異なる実数解の個数を求めよ．

(2)　 $x$ についての方程式 $f (g (x)) = 0$ が異なる $6$ 個の実数解をもつような定数 $a$ の値の範囲を求めよ．

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【３】　行列 $(\begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{matrix})$ で表される $1$ 次変換を $f$ とする．座標平面上の点 $P_{n} (x_{n}, y_{n}) （ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$ を $P_{1} (1, 1) ， P_{n + 1} = f (P_{n})$ によって定める．また，原点を $O$ で表す．

(1)　 $x_{n} ， y_{n}$ を $x_{n + 1} ， y_{n + 1}$ で表せ．

(2)　線分 $O P_{n}$ 上には両端の点以外に格子点がないことを証明せよ．ただし，格子点とは $x$ 座標， $y$ 座標がともに整数であるような点のことである．

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【４】　座標平面の $x$ 軸上に定点 $A (1, 0) ， B (- 1, 0) ， y$ 軸上に定点 $C (0, 1) ， D (0, - 1)$ がある．この平面上の動点 $P$ から線分 $AB$ 上の点までの距離の最大値を $M (P) ，$ 最小値を $m (P)$ とする．条件

(ア)　 $M (P) ≦ PC$ または $M (P) ≦ PD$

(イ)　 $m (P) ≦ PC$ かつ $m (P) ≦ PD$

をともに満たす点 $P$ の存在範囲を $K$ とする．ただし， $PC ， PD$ は線分の長さを表す．

(1)　 $K$ を図示せよ．

(2)　 $2$ 直線 $x = 1 ， x = - 1$ の間にある $K$ の部分の面積を求めよ．

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【５】　「 $1$ つのサイコロを振り，出た目が $4$ 以下ならば $A$ に $1$ 点を与え， $5$ 以上ならば $B$ に $1$ 点を与える」という試行を繰り返す．

(1)　 $A$ と $B$ の得点差が $2$ になったところでやめて得点の多いほうを勝ちとする． $n$ 回以下の試行で $A$ が勝つ確率 $p_{n}$ を求めよ．

(2)　 $A$ の得点が $B$ の得点より $2$ 多くなるか，または $B$ の得点が $A$ の得点より $1$ 多くなったところでやめて，得点の多いほうを勝ちとする． $n$ 回以下の試行で $A$ が勝つ確率 $q_{n}$ を求めよ．

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