1992　名古屋大学　前期MathJax

【１】　複素数

$\alpha ={\displaystyle \frac{1-\sqrt{7}i}{2}}\text{，}\beta ={\displaystyle \frac{1+\sqrt{7}i}{2}}$

について(1)と(2)を証明せよ．

(1)　すべての正整数$n$に対して次の等式が成り立つ．

${\alpha }^{n+1}+{\beta }^{n+1}={\alpha }^n+{\beta }^n-2({\alpha }^{n-1}+{\beta }^{n-1})$

(2)　すべての正整数$n$に対して${\alpha }^n+{\beta }^n$は奇数である．

【２】　行列$X=\left(\begin{array}{cc}t& 1\\ -1& t\end{array}\right)$（$t$は実数）による$xy$平面上の$1$次変換を考える．中心$(0,\alpha )\text{，}$半径$1$の円をこの変換で移した図形を$C$とする．ただし$\alpha >0$とする．

(1)　$C$はどんな図形か．

(2)　$C$が$x$軸，$y$軸のいずれとも接するような$\alpha$と$t$の値を求めよ．

【３】　実数$a\text{，}b$に対して$f(a,b)={\displaystyle {\int }_0^1}{(x^2+ax+b)}^{2}dx$とおく．

(1)　$f(a,b)$を求めよ．

(2)　$f(a,b)$の最小値と，それを与える$a\text{，}b$の値を求めよ．

【１】　次の条件を満たす実数の組$(a,b)$が動く範囲を図示せよ．

条件：行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& a\end{array}\right)$に対して，行列$X=\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)$（$p\text{，}q\text{，}r\text{，}s$は実数）で，$X^2=A$となるものが存在する．

【２】　行列$X=\left(\begin{array}{cc}t& 1\\ -1& t\end{array}\right)$（$t$は実数）による$xy$平面上の$1$次変換を考える．中心$(0,\alpha )\text{，}$半径$1$の円をこの変換で移した図形を$C$とする．ただし$\alpha >1$とする．

(1)　$C$が$x$軸と交わるような$t$の範囲を$\alpha$を用いて表せ．

(2)　$C$が$x$軸，$y$軸のいずれとも接するような$\alpha$と$t$の値を求めよ．

【３】　$xy$平面上の図形

$S=\left\{(u,(2\sin u-1)v)\right|0\leqq u\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{,}0\leqq v\leqq u\}$

の面積を求めよ．

【４】(a)　$3$チーム$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$が$1$日に総あたり$3$試合を行って$2$勝したチームを優勝とし，優勝チームが出るまで毎日繰り返す．ただし$\mathrm{A}$が$\mathrm{B}$に勝つ確率，$\mathrm{B}$が$\mathrm{C}$に勝つ確率，$\mathrm{C}$が$\mathrm{A}$に勝つ確率はいずれも$p\text{（}0<p<1\text{）}$であり，引き分けはないものとする．第$n$日目に優勝チームが決まる確率$P_n$を求めよ．

【４】(b)　$1$辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{OABC}$のなかに半径$s$の円板$S$が$2$辺$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{OC}$に接するように置いてある．この正方形内に別の円板$T$を$S$と重ならないように置く．

(1)　$T$の半径$t$の取り得る最大値を$s$を用いて表せ．

(2)　$s$と$t$を変化させたときの$S$と$T$の面積の和の最大値を求めよ．