1992　京都大学　前期MathJax

【１】(1)　直線$x+y=2$と円$x^2+y^2=5$の交点の座標を求めよ．

(2)　$2$つの実数$a\text{，}b$のうち，大きい方を$\max \{a,b\}$で表す．（$a=b$のときは，$\max \{a,b\}=a$である．）次の不等式を満たす点$(x,y)$の存在する範囲を図示せよ．

$1\leqq \max \{4x+4y-3,x^2+y^2\}\leqq 5$

【２】　$\theta$は$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲の角とする．

(1)　$\sin 3\theta =\sin 2\theta$を満たす$\theta$を求めよ．

(2)　$m\text{，}n$を$0$以上の整数とする．$\theta$についての方程式$\sin 3\theta =m\sin 2\theta +n\sin \theta$が解をもつときの$(m,n)$と，そのときの解$\theta$を求めよ．

【３】　$▵\mathrm{ABC}$の外心$\mathrm{O}$から直線$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}\text{，}\mathrm{AB}$に下ろした垂線の足をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$とするとき，

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}+2\overrightarrow{\mathrm{OQ}}+3\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\overrightarrow{0}$

が成立しているとする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$の関係式を求めよ．

(2)　$\angle \mathrm{A}$の大きさを求めよ．

【４】　サイコロをくり返し$n$回振って，出た目の数を掛け合わせた積を$X$とする．すなわち，$k$回目に出た目の数を$Y_k$とすると，

$X=Y_1{Y}_2\cdots Y_n$

(1)　$X$が$3$で割り切れる確率$p_n$を求めよ．

(2)　$X$が$4$で割り切れる確率$q_n$を求めよ．

【５】　単位円$x^2+y^2=1$に直線$px+qy=1\text{（}p>0\text{，}q>0\text{）}$が接しているとする．この接線と$x$軸，$y$軸とで囲まれた三角形を$y$軸のまわりに一回転してできる回転体の体積を$V$とする．接線をいろいろ変えたときの$V$の最小値を求めよ．またそのときの接点の座標を求めよ．

【１】　空間内の$6$つの点

$\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,1,0)\text{，}\mathrm{C}(-1,0,0)\text{，}$

$\mathrm{D}(0,-1,0)\text{，}\mathrm{E}(0,0,1)\text{，}\mathrm{F}(0,0,-1)$

を頂点とする正八面体を，平面${\displaystyle \frac{x}{a}}+{\displaystyle \frac{y}{b}}+{\displaystyle \frac{z}{c}}=0$で切るとき，切り口の多角形の頂点の座標を求めよ．ただし，$a\text{，}b\text{，}c$は正の定数とする．

【４】　サイコロをくり返し$n$回振って，出た目の数を掛け合わせた積を$X$とする．すなわち，$k$回目に出た目の数を$Y_k$とすると，

$X=Y_1{Y}_2\cdots Y_n$

(1)　$X$が$3$で割り切れる確率$p_n$を求めよ．

(2)　$X$が$6$で割り切れる確率$q_n$を求めよ．

【５】　空間内で$xy‐$平面上の放物線$z=1-x^2$を$z$軸のまわりに回転して得られる曲面に$4$点

$(t,0,1-t^2)\text{，}(-t,0,1-t^2)\text{，}(0,-t,1-t^2)$（ただし，$0<t<1$）

で，それぞれ接する$4$つの平面を考える．

(1)　この$4$つの接平面と$xy‐$平面で囲まれる立体の体積$V(t)$を求めよ．

(2)　$V(t)$の最小値と，そのときの$t$の値を求めよ．

【６】　$a_1\text{，}{b}_1\text{，}{c}_1$は正の整数で${a_1}^2+{b_1}^2={c_1}^2$を満たしている．$n=1\text{，}2\text{，}\cdots$について，$a_{n+1}\text{，}{b}_{n+1}\text{，}{c}_{n+1}$を次式できめる．

$a_{n+1}=|2c_n-a_n-2b_n|\text{，}{b}_{n+1}=|2c_n-2a_n-b_n|\text{，}{c}_{n+1}=3c_n-2a_n-2b_n$

(1)　${a_n}^2+{b_n}^2={c_n}^2$を数学的帰納法により証明せよ．

(2)　$c_n>0$および$c_n\geqq c_{n+1}$を示せ．

(3)　$c_m>c_{m+1}=c_{m+2}$となったときの$m$について，$a_m:b_m:c_m$を求めよ．