1992　京都大学　後期MathJax

【１】　$k$は$0$または正の整数とする．方程式$x^2-y^2=k$の解$(a,b)$で，$a\text{，}b$がともに奇数であるものを奇数解と呼ぶ．

(1)　方程式$x^2-y^2=k$が奇数解をもてば，$k$は$8$の倍数であることを示せ．

(2)　方程式$x^2-y^2=k$が奇数解をもつための必要十分条件を求めよ．

【２】　$0$でない$x$の整式$f(x)$に対し，

$F(x)={\displaystyle {\int }_0^x}f(t)dt\text{，}G(x)={\displaystyle {\int }_x^1}f(t)dt$

とおく．ある定数$p\text{，}q$が存在して，

$F(G(x))=-{\{F(x)\}}^2+pG(x)+q$

が成立しているとする．

(1)　$a={\displaystyle {\int }_0^1}f(t)dt$とおくとき，$F(x)$を$a$を用いて表せ．

(2)　さらに，$0\leqq x\leqq 1$での$F(x)$の最大値が${\displaystyle \frac{1}{2}}$であるとき，$f(x)$を求めよ．

【３】　一辺の長さが$n$の立方体$\mathrm{ABCD}‐\mathrm{PQRS}$がある．ただし，$2$つの正方形$\mathrm{ABCD}\text{，}\mathrm{PQRS}$は立方体の向かい合った面で$\mathrm{AP}\text{，}\mathrm{BQ}\text{，}\mathrm{CR}\text{，}\mathrm{DS}$は，それぞれ，立方体の辺である．

　立方体の各面は一辺の長さ$1$の正方形に碁盤目（ごばんめ）状に区切られているとする．そこで，頂点$\mathrm{A}$から頂点$\mathrm{R}$へ碁盤目上の辺をたどっていくときの最短径路を考える．

(1)　辺$\mathrm{BC}$上の点を通過する最短径路は全部で何通りあるか．

(2)　頂点$\mathrm{A}$から頂点$\mathrm{R}$への最短径路は全部で何通りあるか．

【４】　放物線$y=x^2$の上の点$\mathrm{P}(t,t^2)$（ただし，$t>0$）でこの曲線に接し，かつ$y$軸にも接する円を$C_1\text{，}{C}_2$とし，それぞれの半径を$r\text{，}R\text{（}r<R\text{）}$とする．

(1)　$t$が正の実数全体を動くとき，${\displaystyle \frac{R}{r}}$のとり得る値の範囲を求めよ．

(2)　${\displaystyle \frac{R}{r}}=2$となる点$\mathrm{P}(t,t^2)$を求めよ．

【５】(1)　$n$を自然数とする（ただし$n\geqq 2$）．$0$と$1$からなる数列$x_1\text{，}{x}_2\text{，}\cdots \text{，}{x}_n$で，同じ数が$3$個以上は続いて並ばないものを考える．このような数列のうち，$x_{n-1}=x_n$を満たすものの個数を$a_n\text{，}{x}_{n-1}\ne x_n$を満たすものの個数を$b_n$とおく．$a_{n+1}$と$b_{n+1}$は，それぞれ$a_n\text{，}{b}_n$によってどのように表されるか．

(2)　硬貨をくり返し投げる．$3$回続けて同じ面が出たら，そこで投げるのをやめる．ちょうど$n$回投げてやめる確率を$p_n$とおく．$p_7$を求めよ．

【４】　平面ベクトル$\overrightarrow{p}\text{，}\overrightarrow{q}$の内積を$\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{q}$と表す．$f$は平面上の$1$次変換とする．

(1)　$\overrightarrow{p}\text{，}\overrightarrow{q}$がたがいに直交する単位ベクトルとすると，

$T=f(\overrightarrow{p})\cdot \overrightarrow{p}+f(\overrightarrow{q})\cdot \overrightarrow{q}$

は，ベクトルの組$\overrightarrow{p}\text{，}\overrightarrow{q}$のとり方によらないで，$f$によってきまる値であることを示せ．

(2)　原点$\mathrm{O}$を通る$2$つの定直線$l$と$m$があって，$f$によって$l$上の任意の点$\mathrm{R}$は$\mathrm{R}$自身に移され，$m$上の任意の点$\mathrm{S}$は$\mathrm{OS}$の中点${\mathrm{S}}^{\prime }$に移されるとする．このとき$f$に対する$T$の値を求めよ．

【５】　$1$から$N+2\text{（}N\geqq 2\text{）}$までの番号のついた玉$(N+2)$個を用意し，手元に$1$と$2$の番号のついた玉をおき，残り$N$個の玉を箱に入れる．さらに，

「玉を$1$つ箱から取り出し，手元の玉$2$個と取り出した玉$1$個計$3$個の玉のうち最も小さい番号の玉を箱に返す」

という操作を$n$回くり返す$\text{（}n\geqq 1\text{）}$．最後に手元に残った$2$個の玉の番号のうち小さい方を$X$とし，大きい方を$Y$とする．

(1)　$Y\leqq m$である確率$P(Y\leqq m)$を求めよ$\text{（}m=3\text{，}4\text{，}\cdots \text{，}N+2\text{）}$．

(2)　$X\leqq m$である確率$P(X\leqq m)$を求めよ$\text{（}m=2\text{，}3\text{，}\cdots \text{，}N+1\text{）}$．

【６】　$a={\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}$とし，空間内の原点$\mathrm{O}$と$4$つの点

$\mathrm{A}(1,1,1)\text{，}\mathrm{B}(-a^{-1},a,0)\text{，}\mathrm{C}(-a,0,a^{-1})\text{，}\mathrm{D}(0,-a^{-1},a)$

について，次の問いに答えよ．

(1)　$4$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$は正方形の頂点であることを示せ．

(2)　四角錐$\mathrm{O}‐\mathrm{ABCD}$を平面$x=0$によって$2$つの部分$W_1\text{，}{W}_2$に分けたとき，$W_1\text{，}{\mathrm{W}}_2$の体積の比を求めよ．