1993　東北大学　前期MathJax

【１】　$2$つの列ベクトル$U=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)\text{，}V=\left(\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right)$と，成分がすべて実数である行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$について

$A^{2}U=V$と$A^{2}V=U$

が同時には成立しないことを証明せよ．

【２】　$A\text{，}a\text{，}b$を正の数とする．曲線

$(a+b)(x^2+y^2)+2(a-b)xy-2A(x+y)+2a^2=0\cdots \text{①}$

が$x$軸と$y$軸とに接するとき，次の問に答えよ．

(1)　$A$を$a\text{，}b$で表し，曲線$\text{①}$が$x$軸に接する点および$y$軸に接する点の座標をそれぞれ求めよ．

(2)　曲線$\text{①}$を原点のまわりに$45\mathrm{°}$回転させて得られる曲線の方程式を求め，曲線$\text{①}$が楕円であることを確かめよ．

【３】　数列$\{a_n\}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$を

$a_1=1\text{，}{a}_n={\displaystyle \frac{{(n-1)}^3{(n-2)}^3{(n-3)}^3\cdots {(2-1)}^3}{(n^3-1)\{{(n-1)}^3-1\}\{{(n-2)}^3-1\}\cdots (2^3-1)}}\text{（}n\geqq 2\text{）}$

で定め，$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$とおく．

(1)　$a_n$を$n$と$a_{n-1}$の式として表せ．

(2)　${\displaystyle \frac{S_1}{a_1}}\text{，}{\displaystyle \frac{S_2}{a_2}}\text{，}{\displaystyle \frac{S_3}{a_3}}$を求めよ．

(3)　(2)から${\displaystyle \frac{S_n}{a_n}}$が$n$のどのような式になるかを予想し，その式を証明せよ．

【４】　次の$2$つの等式を同時に満たす関数$f(x)$と$g(x)$を考える．

$f(x)=x^2+{\displaystyle {\int }_{-1}^1}(x-t)g(t)dt\text{，}g(x)={\displaystyle {\int }_{-1}^1}\{{\displaystyle \frac{3}{2}}f(t-x)+xg(t)\}dt$

(1)　$f(x)$は$x$の$2$次式であることを示せ．

(2)　$f(x)$と$g(x)$を求めよ．

【１】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}1& a\\ 0& 1\end{array}\right)\text{（}a\ne 0\text{），}E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{，}N=A^n-E\text{（}n\text{は自然数）}$について，次の問に答えよ．

(1)　$N^2\text{，}(E+N)(E-N)$を求めよ．

(2)　$E-N$が逆行列をもつことを示し，${(E-N)}^{-1}$を求めよ．

(3)　等式$X^2=N$を満たす行列$X=\left(\begin{array}{cc}x& y\\ z& w\end{array}\right)$は存在しないことを証明せよ．

【２】　曲線$C\text{：}y=\log (x+1)+1$を考える．ただし，対数は自然対数とする．$C$上の点$\mathrm{P}$から$x$軸に下ろした下ろした垂線，$\mathrm{P}$における$C$の法線，および$x$軸で囲まれる三角形の面積を$S$とする．$\mathrm{P}$の$x$座標が負でないとき，$S$の最大値を求めよ．

【３】　$xy$平面上の$3$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(1,0)\text{，}\mathrm{B}(0,1)$を頂点とする三角形を，直線

$l\text{：}y=(\tan \theta )x(0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}})$

を軸として$1$回転してできる回転体の体積を$V$とおくとき，次の問に答えよ．

(1)　$l$と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{C}$とするとき，線分$\mathrm{OC}$の長さを$\theta$の関数として表せ．また，$\mathrm{OC}$の長さの最大値および最小値を求めよ．

(2)　$V$を$\theta$の関数として表せ．

(3)　$V$の最大値および最小値を求めよ．

【４】　$r\text{，}n$を自然数，$k$を$0\leqq k\leqq n$を満たす整数とする．集合$\mathrm{T}=\{i|i\text{は整数，}1\leqq i\leqq r+n\}$から$r+k$個の数を取り出すとき，その中に集合$S=\{i|i\text{は整数，}1\leqq i\leqq r\}$の元がすべて含まれる確率を$a_n$とおく．

(1)　$a_n$を$r\text{，}n\text{，}k$の式として表せ．

(2)　$r\geqq 2$のとき，${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{a}_n$を求めよ．

【５】　原点$(0,0)$を$\mathrm{O}$とし，行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& c\\ c& b\end{array}\right)$によって表される$1$次変換を$f$とする．$3$点${\mathrm{P}}_1(1,0)\text{，}{\mathrm{P}}_2({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}},{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}})\text{，}{\mathrm{P}}_3(0,1)$の$f$による像をそれぞれ${{\mathrm{P}}_1}^{\prime }\text{，}{{\mathrm{P}}_2}^{\prime }\text{，}{{\mathrm{P}}_3}^{\prime }$とおく．

$\overrightarrow{\mathrm{O}{{\mathrm{P}}_1}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_1}=1\text{，}\overrightarrow{\mathrm{O}{{\mathrm{P}}_2}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_2}=3\text{，}\overrightarrow{\mathrm{O}{{\mathrm{P}}_3}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_3}=3$

であるとき，次の問に答えよ．ただし，$\overrightarrow{\mathrm{O}{{\mathrm{P}}_i}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_i}\text{（}i=1\text{，}2\text{，}3\text{）}$は$\overrightarrow{\mathrm{O}{{\mathrm{P}}_i}^{\prime }}$と$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_i}$の内積を表す．

(1)　$a\text{，}b\text{，}c$を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}(\cos \theta ,\sin t)$の$f$による像を${\mathrm{P}}^{\prime }$とする．$t$が$0\leqq t\leqq \pi$の範囲で変化するとき，$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}^{\prime }}$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}$の最大値と最小値，およびそれらの値を与える$t$の値を求めよ．

【６】　方程式$x\cos x=2$の$0\leqq x\leqq 2\pi$における解を$a$とする．

(1)　$2$つの不等式${\displaystyle \frac{3}{2}}\pi <a<2\pi \text{，}\sqrt{a^2-4}\geqq {\displaystyle \frac{4}{5}}a$が成り立つことを示せ．

(2)　$2$つの曲線$y=\sin x\text{，}y={\displaystyle \frac{x}{4}}\sin 2x$で囲まれる図形で，$0\leqq x\leqq \pi$に対応する部分の面積を$S\text{，}\pi \leqq x\leqq a$に対応する部分の面積を$T$とするとき，$S>T$であることを示せ．

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