1993　東京工業大学　前期MathJax

【１】　原点$(0,0)$を通る$2$つの放物線と直線をそれぞれ

$C_1\text{：}y=a{x}^2+bx\text{（}a\ne 0\text{），}{C}_2\text{：}y=p{x}^2+qx\text{（}p\ne 0\text{），}L\text{：}y=kx\text{（}k\ne b\text{，}k\ne q\text{）}$

とし，$C_1$と$L$で囲まれる部分の面積を$S_1\text{，}{C}_2$と$L$で囲まれる部分の面積を$S_2$とする．このとき，$S_1$と$S_2$の比が$k$によらないための必要十分条件を求めよ．

【２】　$n$を自然数とする．

(1)　$\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\sin (2n+1)x}{\sin x}}$を求めよ．

(2)　${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\displaystyle \frac{\sin (2n+1)x}{\sin x}}dx={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を示せ．

【３】　$4$次曲線$C\text{：}y=x^4-2a{x}^2\text{（}a>0\text{）}$上の動点$\mathrm{P}=(t,t^4-2a{t}^2)$が$-\sqrt{a}\leqq t\leqq \sqrt{a}$の範囲で動く．$\mathrm{P}$での$C$の接線と$C$との交点を$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}=(\alpha ,{\alpha }^4-2a{\alpha }^2)\text{，}\mathrm{R}=(\beta ,{\beta }^4-2a{\beta }^2)$とする．ただし，$\alpha \leqq \beta$．

(1)　$\alpha +\beta \text{，}\alpha \beta$を$a$と$t$で表せ．

(2)　$3$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$が接線上$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{R}$の順になるための条件を求めよ．

(3)　線分$\overline{\mathrm{QR}}$の長さを$L$とする．$L^2$を$a$と$t$で表せ．

(4)　$a={\displaystyle \frac{7}{12}}$のとき，$L$の最大値を求めよ．

【４】　$n$を自然数，$P(x)$を$n$次の多項式とする．$P(0)\text{，}P(1)\text{，}\cdots \text{，}P(n)$が整数ならば，すべての整数$k$に対し，$P(k)$は整数であることを証明せよ．

【５】　サイコロを$4$回ふり，出る目の数を順に，$x_1\text{，}{x}_2\text{，}{x}_3\text{，}{x}_4$とするとき，点$\mathrm{P}=(x_1,x_2)\text{，}\mathrm{O}=(0,0)\text{，}\mathrm{Q}=(x_3,-x_4)$のなす角$\angle \mathrm{POQ}$が鋭角になる確率を求めよ．