1993　九州大学　前期MathJax

【１】　$n>2$とする．$1$から$n$の数字を$k$個の空でない部分に分割する方法の数を$S_n(k)$で表す．たとえば$n=3\text{，}k=2$のとき分割は$\{1\}\cup \{2,3\}\text{，}\{2\}\cup \{1,3\}\text{，}\{3\}\cup \{1,2\}$となるので$S_3(2)=3$である．次の問に答えよ．

(1)　$S_n(n-1)$を求めよ．

(2)　$S_n(n-2)$を求めよ．

(3)　$S_n(2)$を求めよ．

(4)　$k>1$のとき$S_{n+1}(k)$を$S_n(k-1)$と$S_n(k)$を用いて表せ．

【２】　$1$次変換$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& -a\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$により，直線$l\text{：}y=3x$は$l$自身に移り，直線$m\text{：}y=2x+{\displaystyle \frac{1}{2}}$は直線$n\text{：}y=5x+2$に移る．このとき次の問に答えよ．

(1)　$a\text{，}b\text{，}c$を求めよ．

(2)　不等式$y\geqq -x$の表す領域の$1$次変換による像を求めよ．

【３】　$c$を正の定数とする．$0\leqq t\leqq c$において関数$f(t)\text{，}g(t)$を次の式が成立するように定める（$f^{\prime }(t)$などは$t$に関する微分を表す）．

$f^{\prime }(t)=-1\text{，}f(0)=2\text{，}{g}^{\prime }(t)=f(t)\text{，}g(0)=7$

　さらに$c\leqq t$において関数$h(t)\text{，}k(t)$を次の式が成立するように定める．

$h^{\prime }(t)=1\text{，}h(c)=f(c)\text{，}{k}^{\prime }(t)=h(t)\text{，}k(c)=g(c)$

　このとき，次の問に答えよ．

(1)　点$(f(t),g(t))$の軌跡を求めよ．

(2)　点$(h(t),k(t))$の軌跡が原点を通るとき，$c$を求めよ．

【４】　$f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$とする．$f(x)$は$x=2$で極小値$0$をとる．また曲線$y=f(x)$は点$(1,3)$を通り，その点における接線は点$(0,8)$を通るとする．そのとき次の問に答えよ．

(1)　係数$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$と$x$軸により囲まれる領域の面積を求めよ．

【１】　放物線の焦点を通る直線がこの放物線で切り取られてできる線分を考えるとき，それらの中点の軌跡はやはり放物線となる．次の問に答えよ．

(1)　$p>0$とする．放物線$y^2=4px$とその焦点$\mathrm{F}(p,0)$からこの方法で得られる放物線の式とその焦点を求めよ．

(2)　放物線$P_0\text{：}{y}^2=4x$からこの方法で得られる放物線を$P_1$とする．さらに$P_1$からこの方法で得られる放物線を$P_2$とする．これを繰り返して得られる放物線$P_n$の式を求めよ．また$n\to \infty$のとき，放物線$P_n$の焦点はどのような点に近づくか．

【２】　中心が$\mathrm{C}(0,1,1)$である半径$1$の球を$S$とする．点$\mathrm{A}(0,0,2)$および球$S$上の点$\mathrm{B}(0,1,0)$を考える．点$\mathrm{B}$を通り$\mathrm{AC}$に垂直な平面で球$S$を切ることにより得られる円を$K$とする．点$\mathrm{P}$が円$K$上にあるとき，直線$\mathrm{AP}$が$xy$平面と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．このとき次の問に答えよ．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の内積を計算せよ．

(2)　点$\mathrm{Q}$の座標を$(x,y,0)$とし，$\angle \mathrm{QAC}=\theta$とするとき，$\cos \theta$を$x\text{，}y$を用いて表せ．

(3)　点$\mathrm{P}$が円$K$上を動くときの点$\mathrm{Q}$の軌跡の方程式を求めよ．

【４】　正の数$t$に対し

$A=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{2}}(t+{\displaystyle \frac{1}{t}})& {\displaystyle \frac{1}{2}}(t-{\displaystyle \frac{1}{t}})\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}(t-{\displaystyle \frac{1}{t}})& {\displaystyle \frac{1}{2}}(t+{\displaystyle \frac{1}{t}})\end{array}\right)$

とおく．次の問に答えよ．

(1)　行列$A$の表す$1$次変換による単位円$x^2+y^2=1$の像$C$を表す式を求めよ．

(2)　曲線$C$を原点のまわりに$45\mathrm{°}$回転して得られる曲線の式を求めよ．

(3)　$t$が正の数全体を動くとき，単位円$x^2+y^2=1$上の定点${\mathrm{P}}_0(x_0,y_0)$の行列$A$の表す$1$次変換によって移る点の軌跡を求めよ．

【５】　動点$\mathrm{P}$は原点から出発して，時刻$t$における座標は$(t,0)$であるとする．また動点$\mathrm{Q}$は時刻$t=0$のとき点$(0,1)$から出発して，点$\mathrm{P}$との距離を一定に保ちながら，常に点$\mathrm{P}$に向かって（すなわち$\mathrm{Q}$の速度ベクトルが$\overrightarrow{\mathrm{QP}}$と平行であるように）進むとする．このとき次の問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{Q}$の時刻$t$における座標を$(x,y)$とすると，

${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=-{\displaystyle \frac{y}{\sqrt{1-y^2}}}$

が成り立つことを示せ．

(2)　点$\mathrm{Q}$の$y$座標が${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$となったときの$x$座標を$a\text{，}y$座標が${\displaystyle \frac{1}{2}}$となったときの$x$座標を$b$とする．点$\mathrm{Q}$の描く曲線と$x$軸，直線$x=a\text{，}$および直線$x=b$により囲まれる領域の面積を求めよ．