1994　北海道大学　前期

【１】　$a$を$0$でない実数とし，$$を直線$y=ax$上の原点$\mathrm{O}$以外の点とする．一次変換$f$がつぎの条件(イ)と(ロ)をみたすとき，$f$を表す行列$A$を求めよ．

(イ)　$f$は点$(1,0)$を点$(2,0)$にうつす．

(ロ)　$\mathrm{Q}=f(\mathrm{P})$とすると，$\angle \mathrm{POQ}$が直角となり，$▵\mathrm{POQ}$の面積が$\mathrm{OP}$の長さの$2$乗に等しい．

【２】　三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の半径を$1$とし，$\angle \mathrm{B}=\beta \text{，}\angle \mathrm{C}=\gamma$とする．

(1)　長さ$\mathrm{BC}$を$\beta$と$\gamma$で表せ．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$の外接円の中心が$▵\mathrm{ABC}$の内部にあるとする．その半径$r$を$\beta$と$\gamma$で表せ．

(3)　内接円の中心を$\mathrm{O}$とする．外接円の半径$r$を長さ$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{OB}\text{，}\mathrm{OC}$で表せ．

【３】　$C$は曲線

$y=x^3-x+6$

とする．

(1)　$C$上の点$(a,a^3-a+6)$における接線の方程式を求めよ．

(2)　(1)の接線が点$(-2,0)$を通るとき，$a$の値を求めよ．

(3)　$x$軸上の点$(t,0)\text{（}t>0\text{）}$から曲線$C$へ$3$本の接線が引けるような$t$の範囲を求めよ．

【４】　$0<a<2$とし，$2$つの$3$次曲線

$y=a{x}^3-(2a+1)x^2+ax+1$

$y=(a-2)x^3+3x^2-3ax+1$

で囲まれる図形の面積を$S$とする．

(1)　$S$を求めよ．

(2)　$S$が最小となる$a$の値を求めよ．

【１】　一次変換$f$は$x$軸を$x$軸にうつし，格子点を格子点にうつすとする．また，原点$\mathrm{O}\text{，}(1,0)\text{，}(1,1)\text{，}(0,1)$を頂点とする正方形の$f$による像の面積は$1$であるとする．$f$を表す行列を$A$とするとき，$A^2$の形を決定せよ．ただし，$x\text{，}y$ともに整数である点$\mathrm{P}(x,y)$を格子点という．

【２】　球$S:x^2+y^2+z^2=1$上の点$\mathrm{P}(a,b,c)$を通る平面

$a(x-a)+b(y-b)+c(z-c)=0$

と点$(2,1,1)$の距離を$d(\mathrm{P})$とする．

(1)　$d(\mathrm{P})$を$a\text{，}b\text{，}c$で表せ．

(2)　正の数$r$に対して，球$S$上の点$\mathrm{P}$で$d(\mathrm{P})=r$となるもの全体が$1$つの円となるという．このような$r$の範囲を求めよ．

【３】　直線$x=0\text{，}x=a\text{（}a>0\text{）}$上にそれぞれ点$\mathrm{M}$と$\mathrm{N}$を，線分$\mathrm{MN}$が$2$次曲線$C:y=ax-x^2$と$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$で交わるようにとる．図形$S_1\text{，}{S}_2\text{，}{S}_3$を次のように定める．

$S_1\text{：}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{M}\text{，}$原点$\mathrm{O}$を頂点とし，$y$軸，曲線$C\text{，}$線分$\mathrm{MP}$で囲まれる図形，

$S_2\text{：}$弧$\mathrm{PQ}$と線分$\mathrm{PQ}$で囲まれる図形，

$S_3\text{：}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{N}\text{，}\mathrm{A}(a,0)$を頂点とし$x=a\text{，}$曲線$C\text{，}$線分$\mathrm{NQ}$で囲まれる図形．

　いま，$S_2$の面積が$S_1$と$S_3$の面積の和に等しいとする．

(1)　線分$\mathrm{MN}$は定点を通ることを示せ．

(2)　線分$\mathrm{PQ}$の長さが最小となるとき，$\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}$を通る直線の方程式を求めよ．

【４】　連続関数$f(x)$は$f(0)=1$であり，任意の実数$x$について

${\displaystyle {\int }_{-x}^x}f(t)dt=a\sin x+b\cos x$

をみたしているとする．

(1)　定数$a\text{，}b$の値を求めよ．

(2)　$g(x)=f(x)-\cos x$とおくとき，$g(x)$は奇関数であることを示せ．

(3)　$x\geqq 0$のとき，不等式

${\displaystyle {\int }_{-x}^x}{\{f(t)\}}^{2}dt\geqq {\displaystyle {\int }_{-x}^x}{\cos }^{2}tdt$

を証明せよ．

【５】　勝つ確率が$a$であるゲームがある．このゲームを$n$回行って一度も連勝せず$n$回目に負ける確率を$a_n$とし，$n$回行って一度も連勝せず$n$回目に勝つ確率を$b_n$とする．

(1)　$a_{n+1}\text{，}{b}_{n+1}$を$a_n\text{，}{b}_n$で表せ．

(2)　$b_{n+2}+(a-1)b_{n+1}+a(a-1)b_n=0\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を示せ．

【１】　$a$を$0$でない実数とし，$\mathrm{P}$を直線$y=ax$上の原点$\mathrm{O}$以外の点とする．一次変換$f$がつぎの条件(イ)と(ロ)をみたすとする．

(イ)　$f$は点$(1,0)$を点$(2,0)$にうつす．

(ロ)　$\mathrm{Q}=f(\mathrm{P})$とすると，$\angle \mathrm{POQ}$が直角となり，$▵\mathrm{POQ}$の面積が$\mathrm{OP}$の長さの$2$乗に等しい．

　このとき，つぎの問いに答えよ．

(1)　$f$を表す行列$A$を求めよ．

(2)　$n$を自然数とし，$a=1+{\displaystyle \frac{1}{n}}$とおく．点$(0,1)$の$f$による像の$y$座標の絶対値を$c_n$とする．このとき$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left({\displaystyle \frac{c_n}{2}}\right)}^n$を求めよ．