1994　九州大学　前期MathJax

【１】　以下の設問は${\log }_{10}2$の近似値に関するものである．${\log }_{10}2=0.3010\cdots$を用いないで答えよ．

(1)　不等式${\displaystyle \frac{3}{10}}<{\log }_{10}2<{\displaystyle \frac{4}{13}}$を示せ．

(2)　$a={\displaystyle \frac{1-3{\log }_{10}2}{10{\log }_{2}2-3}}$とおくとき，$b<a<b+1$となる整数$b$を下の表を用いて求めよ．

$n$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$
${1.024}^n$	$1.049$	$1.074$	$1.100$	$1.126$	$1.153$	$1.181$	$1.209$	$1.238$	$1.268$	$1.298$	$1.329$

(3)　上の結果を用いて不等式${\displaystyle \frac{31}{103}}<{\log }_{10}2<{\displaystyle \frac{28}{93}}$を示せ．

【２】　$m$と$k$を実数の定数として，座標平面上の変換$f$を

$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)+k(x+y)\left(\begin{array}{c}1\\ m\end{array}\right)$

で定める．次の問に答えよ．

(1)　変換$f$を表す行列を求めよ．

(2)　$m$を固定し$k$を動かすとき，点$(1,1)$の$f$による像はどのような図形を描くか．

(3)　領域$D_1\text{：}{(x-1)}^2+{(y-1)}^2\leqq 1$の$f$による像を$D_2$とする．$k$を適当に動かすことにより，$D_2$の少なくとも$1$点が${(x-4)}^2+{(y-3)}^2\leqq 1$となるための$m$の範囲を求めよ．

【３】　座標平面上に$3$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(1,0)\text{，}\mathrm{B}(0,1)$をとり，$▵\mathrm{OAB}$を放物線$y=k{x}^2\text{（}k>0\text{）}$で$2$つの部分$S\text{，}T$にわける．ただし，$S$は放物線の下にある部分とする．次の問に答えよ．

(1)　線分$\mathrm{AB}$と放物線の交点の$x$座標を$\alpha$として，$S$の面積を$\alpha$のみを用いて表せ．

(2)　$S$と$T$の面積が等しくなる$k$の値を求めよ．

【４】　画びょうを投げる試行を続け，針が先に上を$4$回向けば太郎君の勝ち，先に下を$3$回向けば太郎君の負けとする．画びょうが上を向く確率を${\displaystyle \frac{2}{3}}$とするとき，次の問に答えよ．

(1)　太郎君の勝つ確率を求めよ．

(2)　$5$回目で勝負が決まったときに，太郎君が勝った確率はいくらか．

(3)　各回の試行で針が上を向くと太郎君は$1$点をもらい，下を向くと$1$点を失う．この勝負で太郎君の平均得点はいくらか．

【１】　座標平面上の$4$点$(0,0)\text{，}(1,0)\text{，}(1,1)\text{，}(0,1)$からなる集合を$L\text{，}$不等式$ax+by-d\geqq 0$を満たす実数$x\text{，}y$を座標としてもつ点$(x,y)$からなる集合を$\mathrm{D}$とする．すなわち

$\mathrm{L}=\{(0,0),(1,0),(1,1),(0,1)\}\text{，}$

$\mathrm{D}=\{(x,y)|ax+by-d\geqq 0\}$

である．このとき，$\mathrm{L}$と$\mathrm{D}$の共通集合$\mathrm{L}\cap \mathrm{D}$について次の問に答えよ．

(1)　実数$a\text{，}b\text{，}d$をどのように選んでも，$\mathrm{L}\cap \mathrm{D}=\{(0,0),(1,1)\}$にならないことを示せ．

(2)　$\mathrm{L}\cap \mathrm{D}=\{(1,1)\}$ならば，${\displaystyle \frac{d}{\sqrt{2}}}\leqq \sqrt{a^2+b^2}<\sqrt{2}d$であることを示せ．

【２】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$によって表される$1$次変換を$f$とする．次の問に答えよ．

(1)　$A^2=E\text{，}A\ne \pm E$のとき，$ad-bc=-1$を示せ．ただし，$E$は単位行列である．

(2)　さらに，$f(7,-1)=(-1,-7)$のとき，$A$を求めよ．

(3)　上で求めた$f$によって不変であるような原点を通る直線を求めよ．

【３】　$xy$座標平面で点$\mathrm{P}$は点$\mathrm{A}(1,0)$を始点として，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周上を正の向きに一定の速さで回転する．点$\mathrm{Q}$は動径$\mathrm{OP}$上を原点$\mathrm{O}$から出発して一定の速さで$\mathrm{P}$に向かって進み，点$\mathrm{P}$が円を$1$周して点$\mathrm{A}$に戻ってきた時にちょうど点$\mathrm{P}$に到達するとする．このときの点$\mathrm{Q}$の軌跡を$C\text{，}\angle \mathrm{POA}=\theta \text{，}$そして$C$と線分$\mathrm{OQ}$とで囲まれる領域の面積を$S(\theta )$とする．次の問に答えよ．

(1)　$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ．

(2)　上の座標を$\mathrm{Q}(\theta )$とする．点$\mathrm{Q}(\pi )$における$C$の接線と$y$軸との交点の座標を求めよ．

(3)　$0\leqq {\theta }_1<{\theta }_2\leqq 2\pi$のとき

${\displaystyle \frac{1}{2}}{\left({\displaystyle \frac{{\theta }_1}{2\pi }}\right)}^2<{\displaystyle \frac{S({\theta }_2)-S({\theta }_1)}{{\theta }_2-{\theta }_1}}<{\displaystyle \frac{1}{2}}{\left({\displaystyle \frac{{\theta }_2}{2\pi }}\right)}^2$

を示せ．

(4)　${\displaystyle \frac{dS(\theta )}{d\theta }}$および$S(\theta )$を求めよ．

【４】　$m\text{，}n$を正の整数とし，$a\text{，}b\text{，}c$を実数とするとき，次の問に答えよ．

(1)　次の定積分の値を求めよ．

(ア)　${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}\sin mx\sin nxdx$

(イ)　${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}x\sin mxdx$

(2)　$I={\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{(a\sin x+b\sin 2x+c\sin 3x-x)}^{2}dx$とおく．$I$を最小にするような$a\text{，}b\text{，}c$の値と$I$の最小値を求めよ．

【５】　$3$つのタイプからなる合計$10$枚の同じ形状のカードがある．第$1$のタイプは$3$枚で両面が黒，第$2$のタイプは$3$枚で両面が白，第$3$のタイプは$4$枚で片面が白で他面が黒である．これらのカードの中から$1$枚を無作為に取り出すとき，次の問に答えよ．

(1)　上面が白であったとき，下面が黒である確率を求めよ．

(2)　下面のカードの色を言い当てるゲームをするとき，答として

(ⅰ)　上面と同じ色を答える

(ⅱ)　上面と異なる色を答える

(ⅲ)　上面の色と無関係に平等な確率で白または黒と答える

場合を考える．それぞれの場合に答が当たる確率を求めよ．