1994　慶応義塾大学　総合政策学部MathJax

【１】(1)　条件$\mathrm{p}\text{，}\mathrm{q}$に関し，つぎの1〜7から最も適する番号を選んで答えなさい．

1.　$\mathrm{p}$は$\mathrm{q}$であるための必要条件

2.　$\mathrm{p}$は$\mathrm{<mspace\; width=".2em"></mspace>q}$であるための十分条件

3.　$\mathrm{p}$は$\mathrm{q}$であるための必要十分条件

4.　$\bar{\mathrm{p}}$は$\mathrm{q}$であるための必要条件

5.　$\bar{p}$は$\mathrm{q}$であるための十分条件

6.　$\bar{\mathrm{p}}$は$\mathrm{q}$であるための必要十分条件

7.　上のいずれでもない

ただし，$\bar{\mathrm{p}}$は$\mathrm{p}$の否定を表す．

(ⅰ)　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$が有理数のとき，

$\mathrm{p}:a+b\sqrt{3}=c+d\sqrt{3}$

$\mathrm{q}:a\ne c$または$b=d$

答　$\boxed{\text{ア}}$

(ⅱ)　$l_1\text{，}{l}_2\text{，}{l}_3$を

$l_1:x+y+(4-k)=0$

$l_2:x-(1+k)y-1=0$

$l_3:(3-k)x-y+2=0$

で表される$3$直線とするとき，

$\mathrm{p}:k=0$

$\mathrm{q}:l_1\text{，}{l}_2\text{，}{l}_3$は$1$点で交わる

答　$\boxed{\text{イ}}$

【１】(2)　座標平面で，原点$\mathrm{O}$を共有する$2$本の半直線

$y=0\text{（}x\geqq 0\text{）}\text{，}y=2x\text{（}x\geqq 0\text{）}$

をそれぞれ$l_1\text{，}{l}_2$とする．$l_1\text{，}{l}_2$で囲まれる領域内の異なる$2$点$\mathrm{A}(a,b)\text{，}\mathrm{B}(4,3)$をとる．$\mathrm{B}$の$l_2$に関する対称点は，${\mathrm{B}}^{\prime }(\boxed{\text{ア}},\boxed{\text{イ}})$である．

　いま，$\mathrm{A}$に白球，$\mathrm{B}$に赤球を置くとき，白球を突いて$l_1$で反射させ，さらに$l_2$で反射させた後に，赤球に当てる実験を行なう．

　この実験は，$\boxed{\text{ウ}}a+\boxed{\text{エ}}b=5\text{（}a>4\text{）}$のとき，白球が直接赤球に当たって失敗する．また，$a+\boxed{\text{オ}}b=\boxed{\text{カ}}\text{（}b>0\text{）}$のとき，白球は$l_1$で反射した後，$l_2$に達する前に赤球に当たって失敗する．

　これら以外の場合には，この実験を実現するには，白球を$l_1$上の$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}a}{\boxed{\text{ク}}a+b+\boxed{\text{ケ}}}}$の点に向かって突けばよい．そのとき，$l_2$での反射点の$x$座標は，$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}a}{\boxed{\text{サ}}a+b+\boxed{\text{シ}}}}$である．さらに，$(a,b)=(\boxed{\text{ス}}\sqrt{\boxed{\text{セ}}},\sqrt{5})$のとき，$l_1\text{，}{l}_2$での反射角が等しくなる．

【２】(1)

(ⅰ)　分数関数$f(x)={\displaystyle \frac{ax+b}{x+c}}$がつぎの条件1，2を満たすとする．

1.　曲線$y=f(x)$は直線$y=x+1$と$2$点で交わり，その$2$つの交点の座標は絶対値が等しい．

2.　曲線$y=f(x)$と$x$軸および$y$軸との交点は，ともに直線$y={\displaystyle \frac{3}{2}}x+{\displaystyle \frac{11}{2}}$上にある．

このとき，$a=\boxed{\text{ア}}\text{，}b=\boxed{\text{イ}}\text{，}c=\boxed{\text{ウ}}$である．

(ⅱ)　(ⅰ)で定まる$f(x)$の逆関数を$g(x)$とすると，

$g(-2)=\boxed{\text{エ}}\text{，}g(g(-2))={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}$

である．

【２】(2)　中心$(0,0,{\displaystyle \frac{1}{2}})\text{，}$半径${\displaystyle \frac{1}{2}}$の球面を$S$とし，$S$上の定点$(0,0,1)$を$\mathrm{N}$とする．$xy$平面上の点$\mathrm{P}$に，線分$\mathrm{NP}$と$S$との交点$\mathrm{Q}$を対応させる．

(ⅰ)　$\mathrm{P}(-1,2)$のとき，$\mathrm{Q}$の座標は$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}})$である．

(ⅱ)　$\mathrm{P}$が直線$x+y=1$の上を動くとき，$\mathrm{Q}$は

中心$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}})\text{，}$半径${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ス}}}}{\boxed{\text{セ}}}}$

の円の周上にある．

(ⅲ)　平面$2x+4y=1$と球面$S$とが交わってできる円の周上を$\mathrm{Q}$が動くとき，$\mathrm{P}$は$xy$平面上の円

${(x-\boxed{\text{ソ}})}^2+{(y-\boxed{\text{タ}})}^2={\boxed{\text{チ}}}^2$

の周上を動く．

【３】(1)　価格$100$万円の新しい機械を導入することにより，年間$15$万円の収入増が見込まれる．必要な資金$100$万円は年利率$0.08$で借り入れ，毎年$12$万円ずつ返済するものとする．$n$年後の借入金の残高を$a_n$万円とすると，

$a_n=(1+0.08)a_n-12\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

が成り立つ．ただし，$a_0=100$とする．このとき，

$a_n=\boxed{\text{ア}}+\boxed{\text{イ}}{\left({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}\right)}^n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

である．

　借入金の返済が終わる（すなわち，初めて$a_n\leqq 0$となる）のは，$n=\boxed{\text{オ}}$年後である．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}3=0.4771$とする．

【３】(2)　座標平面で，放物線$y^2=x$と$x=1$で囲まれる領域を$G$とする．また，$0\leqq t\leqq 2$を満たす実数$t$に対して，放物線$y^2=-x+t$と$x=t-1$によって囲まれる領域を$G_t$とする．$G$と$G_t$の共通部分を$x$軸のまわりに一回転させて得られる立体の体積を$f(t)$で表す．$f(t)$は，$0\leqq t\leqq 1$のとき，

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\pi (t^2+\boxed{\text{ウ}}t+\boxed{\text{エ}})$

であり，$1\leqq t\leqq 2$のとき，

${\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{オ}}}}\pi (\boxed{\text{カ}}{t}^2+\boxed{\text{キ}}t+\boxed{\text{ク}})$

である．したがって，$f(x)$の値は$t={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}$のとき最大となる．

【４】　三角形${\mathrm{A}}_0{\mathrm{B}}_0{\mathrm{C}}_0$において，辺${\mathrm{B}}_0{\mathrm{C}}_0\text{，}{\mathrm{C}}_0{\mathrm{A}}_0\text{，}{\mathrm{A}}_0{\mathrm{B}}_0$をいずれも$t:(1-t)\text{（}0<t<1\text{）}$に内分する点を，それぞれ${\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{B}}_1\text{，}{\mathrm{C}}_1$とする．つぎに，三角形${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1$において，辺${\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1\text{，}{\mathrm{C}}_1{\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1$をいずれも$t:(1-t)$に内分する点を，それぞれ${\mathrm{A}}_2\text{，}{\mathrm{B}}_2\text{，}{\mathrm{C}}_2$とする．以下，同様にして，点${\mathrm{A}}_3\text{，}{\mathrm{B}}_3\text{，}{\mathrm{C}}_3\text{，}\cdots$をとる．

　三角形${\mathrm{A}}_k{\mathrm{B}}_k{\mathrm{C}}_k$の面積を$S_k\text{（}k\geqq 0\text{）}$とする．このとき，

(ⅰ)　$S_k=(\boxed{\text{ア}}{t}^2+\boxed{\text{イ}}t+\boxed{\text{ウ}})S_{k-1}\text{（}k\geqq 1\text{）}$

が成り立つ．したがって，

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}\leqq {\displaystyle \frac{S_k}{S_{k-1}}}<1$

となり，等号は，$t={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}$のとき成り立つ．

(ⅱ)　$t={\displaystyle \frac{1}{3}}$のとき，$S_k<{\displaystyle \frac{1}{1000}}{S}_0$となる最小の$k$の値は，$k=\boxed{\text{ク}}$である．

(ⅲ)　

$\overrightarrow{{\mathrm{A}}_0{\mathrm{A}}_3}=(\boxed{\text{ケ}}{t}^2+\boxed{\text{コ}}t+\boxed{\text{サ}})\overrightarrow{{\mathrm{A}}_0{\mathrm{A}}_1}$

が成り立つので，$3$点${\mathrm{A}}_0\text{，}{\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_3$は一直線上にある．