1995　北海道大学　後期MathJax

【１】　ある一次変換により，直線$y=x$と$y=-x$がそれぞれ自分自身に移り，さらに直線$y=x$上のベクトルは$p$倍され，直線$y=-x$上のベクトルは$q$倍されるという（$p\text{，}q\ne 0$）．この一次変換による$x$軸と$y$軸の像のなす角を$\theta (0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$としたとき，$\cos \theta$の値を$p\text{，}q$で表せ．

【２】　空間内の直線$l:x=y=z$と平面$z=0$上のだ円

$C:{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$

を考える．

(1)　だ円$C$上の点$\mathrm{P}(a\cos \theta ,b\sin \theta ,0)$と直線$l$との距離$d$を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$がだ円$C$上を動くとき$d^2$の最小値を求めよ．

【３】　実数列${\{a_n\}}_{n=0}^{\infty }$はつぎの漸化式をみたしているものとする．

$a_0=0\text{，}{a}_{n+1}=e^{-a_n}\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

　また，$c$を$c=e^{-c}$をみたすただ$1$つの実数とする．このとき，つぎの問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)　$1-e^{-x}\leqq x$であることを示せ．

(2)　$a_n>c$ならば，$0<c-a_{n+1}<e^{-c}(a_n-c)$であることを示せ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=c$となることを示せ．

【４】　つぎの問いに答えよ．

(1)　曲線$y=2e^{-x}\sin x\text{（}0\leqq x\leqq n\pi \text{）}$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S_n$を求めよ．ただし，$n$は正の整数，$e$は自然対数の底とする．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を求めよ．