1995　筑波大学　前期自然学類選択問題

【１】　曲線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}(e^x+e^{-x})$を$l$とする．$l$上の点$\mathrm{P}(s,t)\text{（}s>0\text{）}$から$x$軸に下ろした垂線の足を${\mathrm{P}}^{\prime }$とする．線分$\mathrm{P}{\mathrm{P}}^{\prime }$を直径とする円を描く．この円周上に，点$\mathrm{Q}(X,Y)$を${\mathrm{P}}^{\prime }\mathrm{Q}=1$となるように線分$\mathrm{P}{\mathrm{P}}^{\prime }$の左側にとる．

(1)　$X\text{，}Y$を，$s$を用いて表せ．

(2)　直線$\mathrm{PQ}$は曲線$l$に接することを示せ．

(3)　点$\mathrm{P}$が曲線$l$上を動くとき，点$\mathrm{Q}$の描く曲線を$l^{\prime }$とする．曲線$l^{\prime }$上の点$\mathrm{Q}$での接線は，直線$\mathrm{PQ}$に直交することを示せ．

【２】　先手と後手のあるゲームを繰り返し行い，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が試合をする．先手がゲームに勝つ確率は$p\text{（}0<p<1\text{），}$後手が勝つ確率は$q=1-p$とする．試合ではまず$\mathrm{A}$が$1$回先手をもち，次に$\mathrm{B}$が$2$回続けて先手をもつ．以後$2$回ずつ交互に先手をもつ．ゲームに$1$回勝つごとに$1$点が与えられ，合計得点で$2$点差がついたとき試合の勝敗がきまる．

(1)　奇数回目のゲームでは試合の勝敗はきまらないことを示せ．

(2)　$2k$回目で$\mathrm{A}$が試合に勝つ確率$P(k)$を求めよ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{k=1}^n}P(k)$を求めよ．