1995　千葉大学　前期MathJax

【１】　$2$点$\mathrm{A}(-1,-1)\text{，}\mathrm{B}(1,1)$からの距離の和が$4$である点$\mathrm{P}(x,y)$の軌跡を$K$とする．

(1)　$K$の方程式は

$a{x}^2+b{y}^2+cxy=1$

の形となる．$a\text{，}b\text{，}c$を求めよ．

(2)　$K$を原点を中心に$-45\mathrm{°}$回転させた曲線を表す方程式を求めよ．

【２】　$xyz$空間に直線$L:{\displaystyle \frac{x-4}{2}}={\displaystyle \frac{y-1}{-2}}=z-3$と点$\mathrm{P}(1,1,0)$がある．

(1)　$L$と$\mathrm{P}$を含む平面の方程式を求めよ．

(2)　$\mathrm{P}$を中心として$L$と接する球面の方程式を求めよ．

【３】　下図のような同じ大きさの正方形でつくられた図形$A_1\text{，}{A}_2\text{，}{A}_3\text{，}\cdots$がある．

　$A_1$は正方形$1$つ，$A_2$は$A_1$の正方形の上に$2$つ正方形をのせ，左右に$1$つずつ正方形をつけたものである．$3$番目以降の図形$A_n$は図形$A_{n-1}$の上に正方形を$2$つずつのせ，$1$番下の段の左右に$1$つずつつけたものである．$A_n$の正方形の総数を$a_n$とする．

(1)　$A_n$の$1$番下の段には正方形がいくつ並んでいるか．

(2)　$a_n-a_{n-1}$を求めよ．

(3)　$a_n$を求めよ．

【４】　$1\text{，}2\text{，}3$のいずれかの番号の書かれたカードが幾枚かある．$1\text{，}2\text{，}3$それぞれの番号のカードを$1$枚ずつ箱に入れる．この中から$1$枚のカードを取り出し，取り出したカードと同じ番号のカードをその番号と同じ数だけ箱の中に入れる．このようにしてから，次に，箱の中から$2$枚のカードを取り出す．取り出した$2$枚のカードの番号の差を$X$とするとき，以下の問に答えよ．

(1)　$X=0$となる確率を求めよ．

(2)　$X=2$となる確率を求めよ．

(3)　$X$の期待値（平均値）を求めよ．

【５】　$a>0$とし，曲線$C:y=f(x)=x^3+(2-a)x^2-2ax$上の点$\mathrm{P}(a,0)$を通る$2$本の接線が直交しているとする．

(1)　$a$を求めよ．

(2)　接線の傾きが負であるものを$L$とするとき，$L$と$C$とで囲まれる部分のうち$x\leqq 0$をみたす部分の面積を求めよ．

【６】　$xyz$空間に$2$つの平面$H_1\text{，}{H}_2$がそれぞれ次の式で与えられている．

$H_1:x-y-3z+2=0$

$H_2:x+y-z=0$

(1)　$H_1$と$H_2$が交わってできる直線を$L$とする．$L$の方程式を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}(-1,2,-1)$から$H_1\text{，}L$に下ろした垂線の足をそれぞれ$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$とし，$\angle \mathrm{QPR}=\theta$とする．$\cos \theta$を求めよ．

【７】　$2$点$\mathrm{A}(-1,-1)\text{，}\mathrm{B}(1,1)$からの距離の和が$10$である点$\mathrm{P}(x,y)$の軌跡を$K$とする．

(1)　$K$の方程式は

$a{x}^2+b{y}^2+cxy=1$

の形となる．$a\text{，}b\text{，}c$を求めよ．

(2)　$K$を原点を中心に$-45\mathrm{°}$回転させた曲線を表す方程式を求めよ．

(3)　$K$を円$X^2+Y^2=1$に写像する$1$次変換$\left(\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$を$1$つ求めよ．

【８】　$n$個の球が入った箱がある．$n$個の球には$1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{，}n$の数字がそれぞれ$1$つずつ書いてある．

(1)　この箱の中から$2$個の球を取り出す．取り出された$2$個の球に書いてある数字の大きい数から小さい数を引いた数を$X$とする．

　$X=k$となる確率$P(X=k)\text{（}1\leqq k\leqq n-1\text{）}$を求めよ．

(2)　(1)で取り出された$2$個の球を箱にもどして，よく混ぜてから$3$個の球を取り出す．取り出された$3$個の球に書いてある数字の最大の数から最小の数を引いた数を$Y$とする．

　$Y=k$となる確率$P(Y=k)\text{（}2\leqq k\leqq n-1\text{）}$を求めよ．

(3)　$Y$の期待値（平均値）$E(Y)$を求めよ．

【９】　$n$を自然数とする．だ円

${\displaystyle \frac{x^2}{{(n+1)}^2}}+{\displaystyle \frac{{\{y-(n+1)\}}^2}{n^2}}=1$

を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を$V_n$とおく．

(1)　$V_n$を求めよ．

(2)　${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}\{{\displaystyle \frac{1}{V_n}}+{\displaystyle \frac{1}{2{\pi }^2{(n+1)}^2}}\}$を求めよ．

【10】　$\mathrm{P}$を曲線

$C:y=e^x\text{（}x\leqq 0\text{）}$

上の点とする．$\mathrm{P}$における$C$の接線が$x$軸，$y$軸と交わる点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とする．$\mathrm{P}$が$C$上を動くとき，$▵\mathrm{AOB}$の面積の最大値を求めよ．但し$\mathrm{O}$は原点とする．

【11】　$xyz$空間の平面$z=x$上に点$\mathrm{A}(1,0,1)$を中心とし，半径$\sqrt{2}$の円板がある．点$\mathrm{B}(0,0,4)$に光源があるとき，$xy$平面にできる円板の影を図示せよ．

【12】　$a_1=1\text{，}{a}_2=2$とする．$n\geqq 3$に対して$a_n$は$2$次方程式

$x^2-2a_{n-1}x-4a_{n-2}=0$

の大きい方の解の整数部分（小数点以下を切り捨てたもの）とする．

(1)　$a_3\text{，}{a}_4$を求めよ．

(2)　一般項$a_n$を予想し，それが正しいことを数学的帰納法で証明せよ．

【13】　$t$の関数

$f(t)={\displaystyle {\int }_t^{t+1}}|x(x-t)|dx$

を考える．

(1)　$f(t)$のグラフの概形を描け．

(2)　$f(t)$の最小値を求めよ．

【14】　$2$曲線

$C_1:y=e^{x+a}+\beta$

$C_2:y=\log x$

について点$(1,0)$における$C_2$の接線が$C_1$にも接しているものとする．

(1)　$\beta$を$\alpha$で表せ．

(2)　$C_1\text{，}{C}_2$に共通する接線をすべて求め，$\alpha$を用いて表せ．

志望別問題選択一覧

代数幾何，基礎解析

　文学部　行動科学科，教育学部　小学校教員養成課程，中学校教員養成課程，技術科専攻，家庭科専攻，養護学校教員養成課程，幼稚園教員養成課程，法経学部，園芸学部　園芸経済学科【１】，【２】，【３】，【５】

代数幾何，基礎解析，確率・統計

　理学部　生物学科　工学部Aコース・Bコース　建築学科，園芸学部　生物生産学科，緑地・環境学科　【１】，【２】，【４】，【５】

代数幾何，基礎解析，微分・積分，確率・統計

　理学部　物理学科，化学科，地球科学科　医学部，薬学部，工学部Aコース（建築除く）　工学部Bコース　機械工学科，情報工学科，電気電子工学科　【５】，【６】，【７】，【８】，【９】

　教育学部・中学教員養成課程　数学科専攻　【５】，【６】，【７】，【８】，【９】，【10】

　理学部　数学・情報数理学科　【７】，【８】，【11】，【12】，【13】，【14】