1995　東京工業大学　前期MathJax

【１】　$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対して数列

$a(n)={\displaystyle \frac{(n+2)(n+3)(n+4)}{n!}}$

を考える．

(1)　$\underset{n\to \infty }{\lim }a(n)$を求めよ．

(2)　$a(n)$が整数となる$n$をすべて求めよ．

(3)　積$a(1)a(2)\cdots a(n)$が整数となる$n$をすべて求めよ．

【２】　右図のような$4$辺の長さ$1$で，それらのなす外角が$\theta (0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$であるような五角形の面積の最大値を求めよ．

【３】　$n$を自然数とする．

(1)　$f(x)={\displaystyle \frac{x^2}{n^2}}+e^{2x}-1$の増減を調べ，グラフの概形を描け．

(2)　だ円${\displaystyle \frac{x^2}{n^2}}+n^2{y}^2=1$と曲線$y={\displaystyle \frac{1}{n}}{e}^x$の交点のうち$(0,{\displaystyle \frac{1}{n}})$でない方の座標を$(x_n,y_n)$とおく．このとき

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x_n}{n}}=-1$

であることを示せ．

【４】　$1$から$n$までの数字を書いたカードが$1$枚ずつある．ただし$n\geqq 3$とする．

(1)　この$n$枚のカードから無作為に同時に$2$枚のカードを取り出すとき，書かれた数の積の期待値$E$を$n$で表せ．

(2)　この$n$枚のカードから無作為に同時に$3$枚のカードを取り出すとき，書かれた数の積の期待値を$E(n)$で表す．このとき

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{E(n)}{n^3}}$

を求めよ．