1995　東京工業大学　後期MathJax

【１】　一辺の長さが$2$の立方体$C$がある．$S_0$を$C$の$6$つの面に内接する球とする．次に$S_0$に外接し，$C$の$3$つの面と内接する球$S_1$を取る．$S_1$に外接し，$C$の$3$つの面に内接する球$S_2$を$S_1$の外側に（$S_0$と反対側に）取る．以下帰納的に，$S_0\text{，}\cdots \text{，}{S}_n$まで取れたとして，$S_n$に外接し，$C$の$3$つの面に内接する球$S_{n+1}$を$S_n$の外側に取る．

(1)　$S_n$の半径を$n$の式で表せ．

(2)　立方体$C$の中でどの$S_n\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$にも含まれない部分の体積を求めよ．

【２】　だ円

$C\text{：}{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+y^2=1\text{（}a\geqq 1\text{）}$

が与えられている．

(1)　$C$の外部の点$\mathrm{P}(X,Y)$から$C$への$2$接線が直交するように$\mathrm{P}$を動かす．$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．

(2)　$S$を(1)で求めた$\mathrm{P}$の軌跡とする．$S$と$C$で囲まれた部分を直線$x=2a$を軸として，回転してできる回転体の体積を求めよ．