1995　大阪大学　前期MathJax

【１】　$xyz$空間において，平面$z=0$上に原点を中心とする半径$1$の円があり，点$\mathrm{P}$はこの円の周上を動く．点$\mathrm{P}$と点$(0,0,2)$を通る直線が平面$x+y+z=-2$と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の$z$座標の最大値と最小値を求めよ．

【２】　どのような実数$x$に対しても，不等式

$|x^3+a{x}^2+bx+c|\leqq |x^3|$

が成り立つように，実数$a\text{，}b\text{，}c$を定めよ．

【３】　原点を$\mathrm{O}$とし，曲線$y=x^3$上の$\mathrm{O}$とは異なる$2$点を$\mathrm{P}(a,a^3)\text{，}\mathrm{Q}(b,b^3)$とする．$a\ne \pm b$のとき，次の問いに答えよ．

(1)　放物線$y=f(x)$が$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を通るように$2$次式$f(x)$を定めよ．

(2)　積分

${\displaystyle {\int }_0^a}\{x^3-f(x)\}dx$

の値が$0$となるとき，$b$を$a$で表せ．

【１】　次の$2$つのだ円を考える．

だ円$A:{\displaystyle \frac{x^2}{4}}+y^2=1\text{，}$だ円$B:x^2+{\displaystyle \frac{y^2}{4}}=1$

これらに関して，以下の問いに答えよ．

(1)　だ円$A$をだ円$B$に移し，点$(2,0)$を点$(\cos \theta ,2\sin \theta )$に移す$1$次変換を表す行列を求めよ．

(2)　だ円$A$をだ円$B$に移す$1$次変換を$f$とする．原点を$\mathrm{O}$とし，$2$点$(2,0)\text{，}(0,1)$が$f$によって移る点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とする．$\angle \mathrm{POQ}$が最小となるように$f$を選んだとき，$\cos \angle \mathrm{POQ}$を求めよ．

【３】　正の実数$a$に対して，$f(x)=a\log x+1$とおく．点$(-a,0)$から曲線$y=f(x)$に接線をひき，接点の$x$座標を$x_0$とする．曲線$y=f(x)$と$x$軸と直線$x=x_0$によって囲まれる部分の面積を$S(a)$で表す．

(1)　$S(a)$を求めよ．

(2)　${\displaystyle \frac{S(a)}{a^2}}$の最大値を求めよ．

【４】　$f(x)=-{\displaystyle \frac{e^x+e^{-x}}{2}}$とおき，曲線$C:y=f(x)$を考える．一辺の長さ$a$の正三角形$\mathrm{PQR}$は最初，辺$\mathrm{QR}$の中点$\mathrm{M}$が曲線$C$上の点$(0,f(0))$に一致し，$\mathrm{QR}$が$C$に接し，さらに$\mathrm{P}$が$y>f(x)$の範囲にあるようにおかれている．ついで，$▵\mathrm{PQR}$が曲線$C$に接しながら滑ることなく右に傾いてゆく．最初の状態から，点$\mathrm{R}$が初めて曲線$C$上にくるまでの間，点$\mathrm{P}$の$y$座標が一定であるように，$a$を定めよ．

【５】　自然数$n$に対して図形$T_n$を以下のように順に定義する．まず$T_1$は，$3$つの点を$2$つの長さ$1$の線分で図１のように結んで定義する．一般に図形$T_{n+1}$は図形$T_n$を$2$つと点を$1$つ用意し，その点と$T_n$の一番上の点を長さ$1$の線分で結ぶことにより，図２のように定義する．たとえば$T_3$は図３のようになる．$T_n$を通信回線と考える．隣接する$2$つの点を結ぶ長さ$1$の通信路が故障しているかどうかは互いに独立であって，その確率はすべて$p$であるとする．$T_n$の一番上の点を$\mathrm{O}\text{，}$一番下の$2^n$個の点の集合を${\mathrm{A}}_n$で表す．$\mathrm{O}$から${\mathrm{A}}_n$のどの点へも通信できない確率を$p_n$とする．

(1)　$p_n$と$p_{n+1}$の関係式を求めよ．

(2)　$1-p_{n+1}\leqq 2(1-p)(1-p_n)$となることを示せ．

(3)　$p>{\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{p}_n$を求めよ．

図１：$T_1$	図２：$T_{n+1}$	図３：$T_3$