1995　広島大学　後期MathJax

【１】　球面$S\text{：}{x}^2+y^2+z^2-2x-4y+4z=0$と平面$\pi \text{：}2x-y-2z=1$がある．$S$の中心を$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{Q}$を通り$\pi$に垂直な直線を$l$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$l$の方程式を求めよ．

(2)　$S$と$\pi$は交わることを示せ．

(3)　$S$と$\pi$の交線上に点$\mathrm{P}$をとるとき，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PR}}=0$となるような$l$上の点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．

【２】　原点を$\mathrm{O}$とする平面において，互いに直交する単位ベクトル$\overrightarrow{e_1}\text{，}\overrightarrow{e_2}$および$\mathrm{O}$とは異なる定点$\mathrm{P}$がある．次のようにして点${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{P}}_n\text{，}\cdots$を定める．

このとき次の問いに答えよ．

(1)　数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$を$\overrightarrow{{\mathrm{OP}}_n}=a_n\overrightarrow{e_1}+b_n\overrightarrow{e_2}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$によって定めると，ある行列$A$に対して

$\left(\begin{array}{c}{a}_{n+1}\\ b_{n+1}\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}{a}_n\\ b_n\end{array}\right)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

が成り立つ．このような$A$を求めよ．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n\text{，}\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n$を求めよ．

【３】　$2$曲線

$y=\sin x\text{，}y=\sin 3x$

について次の問いに答えよ．

(1)　$\sin 3x=3\sin x-4{\sin }^{3}x$を示せ．

(2)　$0\leqq x\leqq \pi$の範囲で$2$曲線が囲む部分を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

【４】(1)　$x\geqq 2\pi$のとき，不等式

$x-2\pi \geqq 2\pi \log x-2\pi \log 2x$

が成り立つことを示せ．

(2)　$\underset{x\to \infty }{\lim }(x-\pi \log x)=\infty$を示せ．

(3)　$f(x)=x\sin x+\log ({\displaystyle {\int }_0^{\pi }}f(t)dt)$を満たす関数$f(x)$がちょうど$2$つあることを示せ．

【５】　ボタンがひとつあり，それを押すと，$1\text{，}2\text{，}3$のいずれかの数が画面に表示される装置がある．このボタンを$4$回押して数を表示させる．はじめはどの数も表示される確率は${\displaystyle \frac{1}{3}}$である．$2$回続けて$1$が表示されると以後は$1$の表示される確率は${\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$他の数の表示される確率は${\displaystyle \frac{1}{4}}$となり，$2$が$2$回または$3$が$2$回続けて表示されると，以後は$1$の表示される確率は${\displaystyle \frac{1}{5}}\text{，}$他の数の表示される確率は${\displaystyle \frac{2}{5}}$となる．次の問いに答えよ．

(1)　$1$度も$1$が表示されない確率を求めよ．

(2)　$1$がちょうど$2$回表示される確率を求めよ．

【１】　$a<b$とし，放物線$y=x^2$上の$2$点$\mathrm{A}=(a,a^2)\text{，}\mathrm{B}=(b,b^2)$を考える．点$\mathrm{A}$を中心とし，点$\mathrm{B}$を反時計回りに$60\mathrm{°}$回転させることによって点$\mathrm{B}$が放物線上の点$\mathrm{C}$に移るものとする．$a\geqq 0$のとき点$\mathrm{A}$に対してこのような点$\mathrm{B}$はただ一つ定まる．

(1)　$h=b-a$とおくとき，点$\mathrm{C}$の座標を$a\text{，}h$で表せ．

(2)　$a\geqq 0$のとき，点$\mathrm{A}$に対してただ一つ定まる点$\mathrm{B}=(b,b^2)$の$b$を$f(a)$と書く．$f(0)$を求めよ．

(3)　$a\to \infty$とするとき，$f(a)-a$はある値$d$に近づく．$d$の値を求めよ．

【２】　辺の長さが$1$である正四面体$\mathrm{OABC}$がある．点$\mathrm{G}$は，$4\overrightarrow{\mathrm{OG}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}$をみたし，$3$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$は，それぞれ辺$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{OB}\text{，}\mathrm{OC}$上にある．

(1)　$0<p<1\text{，}0<q<1\text{，}0<r<1$をみたす実数$p\text{，}q\text{，}r$に対して$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=p\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=q\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OR}}=r\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とする．点$\mathrm{G}$が$▵\mathrm{PQR}$上にあるならば，$4={\displaystyle \frac{1}{p}}+{\displaystyle \frac{1}{q}}+{\displaystyle \frac{1}{r}}$が成り立つことを示せ．

(2)　点$\mathrm{R}$から$▵\mathrm{OAB}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とすると，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}={\displaystyle \frac{r}{3}}(\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}})$であることを示せ．

(3)　点$\mathrm{G}$がつねに$▵\mathrm{PQR}$上にあるように点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$を変化させるとき，三角錐$\mathrm{OPQR}$の体積の最小値を求めよ．

【３】　次の各問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}(x\sqrt{x^2+1}+\log (x+\sqrt{x^2+1}))$の導関数を求めよ．

(2)　$a>0\text{，}b>0$として，放物線$y=ab{x}^2-ax(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{1}{b}})$の長さが$1$であるとき，$a$と$b$の関係式を求め，次の積分

${\displaystyle {\int }_a^1}(ab{x}^2-ax)dx$

を最小にする$a$の値を求めよ．

【４】　次の各問いに答えよ．

(1)　$0<a<b$のとき，${\displaystyle {\int }_a^b}\log xdx$の値を求めよ．

(2)　$2n$個のものから$n$個をとる順列の総数を${}_{2n}P_n$で表す．$c_n={\displaystyle \frac{{({}_{2n}P_n)}^{\frac{1}{n}}}{2n}}$とおくとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{c}_n$を求めよ．

【５】　次の各問いに答えよ．

(1)　$n$個の鍵のうち$1$つだけ合うものがあり，鍵が合うまで$1$つずつ試す．$1$回毎の試みでは，それまでに試みていない鍵から無作為に$1$つ選ぶ．丁度$r$回の試みで終わる確率を求めよ．

(2)　$n$個の箱にボールを$1$つずつ無作為に入れ，どれかの箱にボールが丁度$2$つ入るまで続け，そのときにこの作業を終えるものとする．この作業が$r$番目のボールで終わる確率を求めよ．

(3)　$n$個の箱，箱$1$，箱$2$，$\cdots$，箱$n$，に$n$個の球を無作為に入れたら，箱$1$が空であった．このとき箱$1$だけが空である確率を求めよ．