1995　大阪府立大学　CMathJax

【１】

(1)　空間内の$4$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(a,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,b,0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,c)\text{（}a\text{，}b\text{，}c>0\text{）}$を頂点とする四面体$\mathrm{OABC}$の内部に点$\mathrm{P}$があり，正数$k\text{，}l\text{，}m\text{，}n$に対して

$k\overrightarrow{\mathrm{PO}}+l\overrightarrow{\mathrm{PA}}+m\overrightarrow{\mathrm{PB}}+n\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{0}$

が成立しているものとする．このとき点$\mathrm{P}$の座標および線分$\mathrm{CP}$の延長と三角形$\mathrm{OAB}$との交点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

（計算の過程を記入しなくてよい．）

【１】

(2)　$\theta$を$0\leqq \theta <\pi$を満たす実数とし，平面上の$2$点${\mathrm{P}}_1(1,-1)\text{，}{\mathrm{Q}}_1(1,\cos \theta )$と行列

$A=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & 1\\ 2+\cos \theta & 2\end{array}\right)$

を考える．行列$A$の表す$1$次変換により，点${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{Q}}_1$がそれぞれ点${\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{Q}}_2$に移されるものとする．$▵\mathrm{O}{\mathrm{P}}_2{\mathrm{Q}}_2$の面積$S(\theta )$を求めよ．また，$0\leqq \theta <\pi$における$S(\theta )$の最大値と，そのときの$\theta$の値を求めよ．

（計算の過程を記入しなくてよい．）

【２】　点$(x,y)$に動点$\mathrm{Q}$があるとき，サイコロを投げ，目が$1$か$6$なら$(x,y)$にとどまり，$2$ならば$(x+1,y)\text{，}3$ならば$(x-1,y)\text{，}4$ならば$(x,y+1)\text{，}5$ならば$(x,y-1)$に動くとする．初め動点$\mathrm{Q}$は原点$(0,0)$にあるものとする．いま，$n$回サイコロを投げたときの動点$\mathrm{Q}$の座標を$(x_n,y_n)$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$n=5$のとき，動点$\mathrm{Q}$が$(4,1)$にいる確率$P_1$を求めよ．

(2)　$n=6$のとき，動点$\mathrm{Q}$が$(2,2)$にいる確率$P_2$を求めよ．

(3)　$n$回投げたとき，$|x_n|+|y_n|\leqq n-2$となる確率$P_3$を求めよ．ただし，$n\geqq 2$とする．

（(1)，(2)については計算の過程を記入しなくてよい．）

【３】　$3$次関数のグラフ$y=f(x)=x^3-x$と直線$l$とが異なる$3$点で交わっているものとし，$3$点の$x$座標をそれぞれ$x_1\text{，}{x}_2\text{，}{x}_3$とする（ただし，$x_1<x_2<x_3$）．$2$つのグラフで囲まれてできる$2$つの図形のうちで$x_1\leqq x\leqq x_2$および$x_2\leqq x\leqq x_3$の部分の面積をそれぞれ$S_1\text{，}{S}_2$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$x_1+x_2+x_3$を求めよ．

(2)　$S_1$および$S_2$を$x_1\text{，}{x}_3$を用いて表せ．

(3)　$k={\displaystyle \frac{x_3}{x_1}}$とするとき，$x_2$を$k$と$x_3$とで表せ．

(4)　いま，$S_1:S_2=1:2$が成り立っているとき，$k={\displaystyle \frac{x_3}{x_1}}$が満たす方程式を導け．

(5)　$x_2$の符号を求めよ．

（(1)，(3)については計算の過程を記入しなくてよい．）

【４】　$f(x)={\displaystyle \frac{e^{ax-2}}{x^2-ax+1}}\text{（}a>0\text{）}$とする．

(1)　$f(x)>0$が$0\leqq x\leqq a$のすべての$x$に対して成り立つための$a$のとり得る値の範囲を求めよ．

(2)　(1)の範囲にある$a$について，$y=f(x)$の$0\leqq x\leqq a$における増減を調べ，グラフの概形をかけ．

(3)　$0<f(x)<2$が$0\leqq x\leqq a$のすべての$x$に対して成り立つための$a$のとり得る値の範囲を求めよ．

(4)　(3)の範囲にある$a$について，$F(x)={\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }}{(1-f(x))}^n\text{（}0\leqq x\leqq a\text{）}$とするとき，${\displaystyle {\int }_0^a}F(x)dx$を求めよ．