1995　慶応義塾大学　商学部MathJax

【１】　曲線$C:y=x^4-8x^3+6x^2+39x+15$がある．

(1)　直線$l:y=px+q$が曲線$C$と異なる$2$点で接している．このとき$p=-\boxed{\text{ア}}\text{，}q=-\boxed{\text{イ}}$であり，接点の座標は$(-\boxed{\text{ウ}},-\boxed{\text{エ}})\text{，}(\boxed{\text{オ}},-\boxed{\text{カ}})$である．

(2)　直線$l$に平行な直線を$m:y=px+r$とする．直線$m$が曲線$C$と異なる$4$点で交わるような$r$の範囲は$-\boxed{\text{キ}}<r<\boxed{\text{ク}}$である．

【２】　$i$を虚数単位とするとき，等式

$(y-2-i)x^2=\{(2y+3)+(3y+2)i\}x-6(1+yi)$

が成り立つような実数の組$(x,y)$を求めると，

$x=\boxed{\text{ア}}\text{，}y=\boxed{\text{イ}}$

または

$x=-\boxed{\text{ウ}}\text{，}y=\boxed{\text{エ}}$

または

$x=-\boxed{\text{オ}}\text{，}y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}$

である．

【３】　整式$x^n$を整式$x^2-x-12$で割ったときの余りは

$\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{{\boxed{\text{ア}}}^n-{(-1)}^n\times {\boxed{\text{イ}}}^n}{\boxed{\text{ウ}}}}x\\ +{\displaystyle \frac{{\boxed{\text{エ}}}^n\times \boxed{\text{オ}}+{(-1)}^n\times {\boxed{\text{カ}}}^n\times \boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}\end{array}$

である．ただし，$n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots$とする．

(2)　行列$A=\left(\begin{array}{cc}2& 5\\ 2& -1\end{array}\right)\text{，}E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$に対して，

$A^2-A-12E=\left(\begin{array}{cc}\boxed{\text{ケ}}& \boxed{\text{コ}}\\ \boxed{\text{サ}}& \boxed{\text{シ}}\end{array}\right)$

である．

(3)　上の(2)の行列$A$に対して，$A^n=\left(\begin{array}{cc}r& s\\ t& u\end{array}\right)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とおく．$r\text{，}s\text{，}t\text{，}u$のうち$r$を求めると，

$r={\displaystyle \frac{{\boxed{\text{ス}}}^n\times \boxed{\text{セ}}+{(-1)}^n\times {\boxed{\text{ソ}}}^n\times \boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}$

である．

【４】　$a_1=1\text{，}{a}_{n+1}=8^n{a}_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で定まる数列$\{a_n\}$に対して，数列$\{b_n\}$を$b_n={\log }_{a_{n+1}}2\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で定める．このとき，

(1)　${\displaystyle \sum _{n=1}^{10}}{b}_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$である．

(2)　$b_n+b_{n+1}+b_{n+2}<{\displaystyle \frac{1}{200}}$が成り立つ最小の$n$は$\boxed{\text{ウ}}$である．

【５】　方程式${(x-y)}^2+{(y-z)}^2+{(z-x)}^2=6$で表される空間図形$R$と方程式$x+y+z=12$で表される平面$\pi$がある．空間図形$R$と平面$\pi$との共通部分は中心が$(\boxed{\text{ア}},\boxed{\text{イ}},\boxed{\text{ウ}})\text{，}$半径が$\sqrt{\boxed{\text{エ}}}$の円である．

【６】　曲線$C:y=x^4+4x^3+x+1$がある．曲線$C$の接線をすべて考えたとき，直線$x=2$との交点の$y$座標が最大になる接線は$2$本ある．この$2$本の接線のうち曲線$C$と異なる$2$点を共有する接線を$l$とすると，$l$の方程式は$y=\boxed{\text{ア}}x+\boxed{\text{イ}}$である．また，曲線$C$と直線$l$で囲まれる部分の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$である．