1996　大学入試センター試験　本試験　数学IMathJax

【１】　$a，$$b，$$c$を整数として，次の三つの整式を考える．

• $f(x)=x^3+2a{x}^2+3bx+5c$
• $g(x)=x^2+5x-2(a-2b+c)$
• $h(x)=x^2+x+1$

(1)　$f\left(x\right)$が$g\left(x\right)$で割り切れて，その商が$x+1$であるとき

$a=\boxed{\text{ア}}$，$b=\boxed{\text{イ}}$，$c=\boxed{\text{ウ}}$

であり，$f(x)$を$h(x)$で割ったときの余りは$\boxed{\text{エ}}x+\boxed{\text{オ}}$である．

(2)　$f(x)$が$h(x)$で割り切れるときには

$b={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}a$，$c={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}a-\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}$

となる．$a，b，c$はすべて整数であるから，これらの関係式を満たす$a$の最小の正の値は$\boxed{\text{サ}}$であり

$2(a-\boxed{\text{サ}})=\boxed{\text{シ}}(b-\boxed{\text{ス}})$$=\boxed{\text{セ}}(c-\boxed{\text{ソ}})$

が成り立つ．したがって，$a-\boxed{\text{サ}}$は二けたの整数$\boxed{\text{タチ}}$の倍数である．

　さらに方程式$g(x)=0$が${\displaystyle \frac{1}{4}\leqq x\leqq \frac{1}{2}}$の範囲に解をもつとすると，$a=\boxed{\text{ツテ}}$である．

【２】　$a$を正の定数とし，放物線$y=x^2+(6a+2)x+3a+4$を$C$，その頂点を$\mathrm{P}$とする．

(1)　$\mathrm{P}$の座標は

$(-\boxed{\text{ア}}a-\boxed{\text{イ}},$$-\boxed{\text{ウ}}{a}^2-\boxed{\text{エ}}a+\boxed{\text{オ}})$

である．$C$が異なる$2$点で$x$と交わる条件は

$a>{\displaystyle \frac{-\boxed{\text{カ}}+\sqrt{\boxed{\text{キク}}}}{\boxed{\text{ケ}}}}\cdots \text{①}$

である．

　以下，$\text{①}$の条件のもとで考え，$C$と$x$軸との交点を$\mathrm{A}，$$\mathrm{B}$とする．

(2)　線分$\mathrm{AB}$の長さは$\boxed{\text{コ}}\sqrt{\boxed{\text{サ}}{a}^2+\boxed{\text{シ}}a-\boxed{\text{ス}}}$である．

　三角形$\mathrm{APB}$の外接円の中心の座標は

$(-\boxed{\text{セ}}a-\boxed{\text{ソ}},{\displaystyle \frac{-\boxed{\text{タ}}{a}^2-\boxed{\text{チ}}a+\boxed{\text{ツ}}}{2}})$

であり，半径は

${\displaystyle \frac{1}{2}}(\boxed{\text{テ}}{a}^2+\boxed{\text{ト}}a-\boxed{\text{ナ}})$

である．

(3)　$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}$のとき，三角形$\mathrm{APB}$は正三角形である．

【３】　座標平面上に点$\mathrm{A}(4,0)$と方程式$y=2x$で表される直線$l$をとる．点$\mathrm{P}$の座標を$(a,b)$とし，$\mathrm{P}$から$l$に引いた垂線と$l$との交点を$\mathrm{Q}$とおくと，$\mathrm{Q}$の$y$座標は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}a+\boxed{\text{イ}}b}{\boxed{\text{ウ}}}}$である．

　点$\mathrm{P}$が条件

『$\mathrm{P}$から直線$l$までの距離と$\mathrm{PA}$の比が$1:\sqrt{5}$である』

を満たしながら動くとき，$\mathrm{P}$は方程式

$y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}x+\boxed{\text{カ}}-\frac{\boxed{\text{キ}}}{x}}$

で表される曲線$C$上にある．

　点$\mathrm{A}$から$l$に引いた垂線と$l$との交点を$\mathrm{B}$とすると，$\mathrm{B}$の$x$座標は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$である．

　点$\mathrm{A}$を通り$l$に平行な直線と曲線$C$との$2$交点のうち，$x$座標の大きい方の点を${\mathrm{P}}_1$とする．${\mathrm{P}}_1$の座標は

$\left({\displaystyle \boxed{\text{コ}}+\frac{\boxed{\text{サ}}\sqrt{\boxed{\text{シ}}}}{\boxed{\text{ス}}},\frac{\boxed{\text{セソ}}\sqrt{\boxed{\text{タ}}}}{\boxed{\text{チ}}}}\right)$

であり，$\cos \angle {\mathrm{P}}_1\mathrm{BA}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ツ}}}}{\boxed{\text{テ}}}}$である．