1996　大学入試センター試験　追試験　数学IMathJax

【１】

〔１〕　$a$を定数として，二つの整式$f(x)，$$g(x)$を次のように定める．

• $f(x)=2x^4+5x^3-3x^2-4x+2$
• $g(x)=x^3+(2a-1)x^2+a(a-2)x-(a-1)a$

　このとき，$f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)=0$だから，$f(x)$は次のように因数分解される．

$f(x)=(x^2+\boxed{\text{ア}}x-\boxed{\text{イ}})$$\times (x+\boxed{\text{ウ}})$$\times (\boxed{\text{エ}}x-\boxed{\text{オ}})$

　また，$g(\boxed{\text{カ}}-a)=0$である．$f(x)$と$g(x)$が$1$次以上の共通因数をもつのは$a$の値が

$\boxed{\text{キ}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}\text{，}$$\boxed{\text{コ}}\pm \sqrt{\boxed{\text{サ}}}$

の場合で，そのときの$f\left(x\right)$と$g\left(x\right)$の最大公約数の次数は，それぞれ

$\boxed{\text{シ}}\text{，}$$\boxed{\text{ス}}\text{，}$$\boxed{\text{セ}}$

である．

【１】

〔２〕　方程式$x^2-5x+3=0$の解を$\alpha ，$$\beta$とする．

(1)　${\alpha }^3，$${\beta }^3$を解にもつ$2$次方程式を$x^2+px+q=0$とする．このとき$p=\boxed{\text{ソタチ}}，$$q=\boxed{\text{ツテ}}$である．

(2)　$|\alpha -\beta |=m+d$（$m$は整数，$0\leqq d<1$）と表すとき

$n\leqq 10d<n+1$

を満たす整数$n$は $\boxed{\text{ト}}$である．

【２】　関数$f(x)=1-{\displaystyle \frac{2}{x+1}}$について考える．

(1)　$m$を定数とする．直線$y=2x+m$と双曲線$y=f(x)$がただ$1$点を共有するための条件は

$m=\boxed{\text{アイ}}$または$m=\boxed{\text{ウ}}$

となることである．また，それらが相異なる$2$点で交わるための条件は

$m<\boxed{\text{エオ}}$または$m>\boxed{\text{カ}}$

となることである．

(2)　関数$y=f(x)$の逆関数を$y=g(x)$とすれば

$g(x)=\boxed{\text{キク}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{x-\boxed{\text{コ}}}}$

である．$\mathrm{-1}，$$0，$$1$とは異なる実数$a$に対して

• $a_1=b_1=a$
• $a_2=f(a_1)$，$a_3=f(a_2)$，$a_4=f(a_3)$，$a_5=f(a_4)$
• $b_2=g(b_1)$，$b_3=g(b_2)$，$b_4=g\left(b_3\right)$

と定める．このとき

$a_3={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サシ}}}{a}}$

である．また，$a_2，$$a_3，$$a_4，$$a_5$は，$b_1，$$b_2，$$b_3，$$b_4$を用いて

$a_2=b_{\boxed{\text{ス}}}$，$a_3=b_{\boxed{\text{セ}}}$，$a_4=b_{\boxed{\text{ソ}}}$，$a_5=b_{\boxed{\text{タ}}}$

と表される．

【３】　座標平面上に円

$C:x^2+(2a-6)x+y^2+(2a-4)y+11-10a=0$

がある．

(1)　円$C$の中心の座標は$(\boxed{\text{ア}}-a,\boxed{\text{イ}}-a)$であり，$C$の半径は$\sqrt{\boxed{\text{ウ}}{a}^2+\boxed{\text{エ}}}$である．$a$がどのような値であっても，$C$の中心は直線$y=x-\boxed{\text{オ}}$の上にあり，$C$は二つの定点$(\boxed{\text{カ}},\boxed{\text{キ}})，$$(\boxed{\text{ク}},\boxed{\text{ケ}})$を通る．

　$(\boxed{\text{カ}},\boxed{\text{キ}})$と$(\boxed{\text{ク}},\boxed{\text{ケ}})$は解答の順序を問わない．）

(2)　$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}$のとき，$C$は点$\mathrm{A}(1,1)$を通り，$\mathrm{A}$における$C$の接線の方程式は

$y=\boxed{\text{シス}}x+\boxed{\text{セ}}$

である．

(3)　$3$点$\mathrm{P}(4,\mathrm{-2})，$$\mathrm{Q}(0,\mathrm{-4})，$$\mathrm{R}(6,\mathrm{-4})$を頂点とする三角形$\mathrm{PQR}$がある．$C$が直線$\mathrm{PQ}$と接し，その接点が辺$\mathrm{PQ}$上にあるとき，その$x$座標は

$\boxed{\text{ソ}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}\sqrt{\boxed{\text{チ}}}}{\boxed{\text{ツ}}}}$

である．また，三角形$\mathrm{PQR}$と$C$が共有点をもつための必要十分条件は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}\sqrt{\boxed{\text{ト}}}}{\boxed{\text{ナ}}}-\boxed{\text{ニ}}\leqq a\leqq \frac{\boxed{\text{ヌネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}}$

である．