1996　旭川医科大学　後期MathJax

【１】　点$(1,0)$を通り$x\geqq 1$で定義されている曲線$y=f(x)$について点$(1,0)$より点$(x,f(x))$までのこの曲線の長さを$F(x)$で表す．次の各問いに答えよ．

(1)　$x>1$のとき，$F(x)>f(x)$が成り立つことを示せ．

(2)　$F(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}\{(x-1)\sqrt{x^2-2x+2}+\log (x-1+\sqrt{x^2-2x+2})\}$のとき，$f(x)$を求めよ．

【２】　曲線$y=e^{-\frac{x}{2}}\sin {\displaystyle \frac{x}{2}}\text{（}x\geqq 0\text{）}$と$x$軸との交点を原点に近い方から${\mathrm{P}}_0\text{，}{\mathrm{P}}_1\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{P}}_n\text{，}\cdots$とし（ただし${\mathrm{P}}_0$は原点とする）．この曲線と線分${\mathrm{P}}_{n-1}{\mathrm{P}}_n$とによって囲まれた部分を，$x$軸のまわりに回転して出来る立体の体積を$V_n$とする．次の各問いに答えよ．

(1)(ⅰ)　${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}{e}^{-x}\sin xdx$を求めよ．

(ⅱ)　$V_1$を求めよ．

(2)　$V_n$を$V_1$で表せ．

(3)　体積$V_1\text{，}{V}_2\text{，}\cdots \text{，}{V}_n\text{，}\cdots$の総和を求めよ．

【３】　$x$の$2$次関数$y=f(x)$と$y=\cos x$は，$x=0$で共通の接線を持ち，かつ点$({\displaystyle \frac{\pi }{2}},0)$で交わる．次の各問いに答えよ．

(1)　$f(x)$を求めよ．

(2)　$g(x)=f(x)-\cos x$とおく．$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲で$g^{\prime }(x)=0$となる$x$はただ$1$つ存在することを示せ．

(3)　$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲で$f(x)$と$\cos x$の大小関係を調べよ．

【４】　$\mathrm{A}$社が製造している製品$\mathrm{B}$は出荷に際して(a)，(b)，(c)，(d)，(e)という$5$種類の検査を行い，それぞれの検査で不合格となった場合：

(a)$10$点，(b)$5$点，(c)$5$点，(d)$3$点，(e)$2$点

の点数を課して，点数の合計が$10$点以上のものは不良品として出荷しないという．製品$\mathrm{B}$がそれぞれの検査で不合格になるという事象は互いに独立で，(a)で不合格になる確率は$p\text{，}$(b)，(c)，(d)，(e)で不合格になる確率はいずれも$q$である．製品$\mathrm{B}$を任意に$1$つ選んで検査したとき，次の各問いに答えよ．

(1)　それが$4$種類以上の検査に合格する確率を求めよ．

(2)　それが不良品である確率を求めよ．