1996　東京医科歯科大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．ただし$i$は虚数単位とする．

(1)　$2$次方程式$x^2+(3+2i)x+1+ki=0$が少なくとも$1$個の実数解をもつように実数$k$の値を定めよ．

(2)　$2$次方程式$x^2+(p+qi)x+q+pi=0$が少なくとも$1$個の実数解をもつように正の実数$p\text{，}q$が動くとき$p^2+q^2$の最小値を求めよ．

【２】　座標平面上の$1$次変換$f$が曲線$x^2+4y^2=1$をそれ自身に移している．次のそれぞれの場合について$f$を表す行列を求めよ．

(1)　$f$が点$(3,2)$をそれ自身にうつすとき．

(2)　$f$が直線$y=2x$をそれ自身に移すとき．

【３】　関数$f(x)=4^x-(p+2)2^{x+1}+4p+q+4$は区間$[1,{\log }_{2}5-1]$において$0\leqq f(x)\leqq 1$をみたしているとする．

(1)　点$(p,q)$が存在する範囲を座標平面上に図示せよ．

(2)　方程式$f(x)=0$が実数解をもつように$p\text{，}q$が動くとき$p-2q$の最小値と最大値を求めよ．