1996　東京学芸大学　後期MathJax

【１】　行列$\left(\begin{array}{cc}a& 1\\ -2& b\end{array}\right)$で表される$1$次変換を$f$とする．座標平面上の点全体が$f$によって$1$つの直線に移るとき，曲線$y=x^2-x$が$f$によって移される図形を$a$を用いた式で表せ．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　$\alpha =\sin 10\mathrm{°}$とする．係数が整数である$3$次の整式$f(x)$で，$\alpha$が方程式$f(x)=0$の解となる$f(x)$を$1$つ求めよ．

(2)　(1)で求めた整式$f(x)$について，関数$y=f(x)$の極値を求めよ．

(3)　(1)で求めた整式$f(x)$について，方程式$f(x)=0$の実数解の個数を求めよ．また，方程式$f(x)=0$は整数解をもつかどうか調べよ．

【３】　座標平面上に円$C\text{：}{x}^2+{(y-1)}^2=4$がある．放物線$y=x^2-1$の接線が円$C$と$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$で交わるとき，線分$\mathrm{AB}$の長さの最大値を求めよ．

【４】　自然数$n$に対して，$f_n(x)=x^n\log x$とおく．関数$f_n(x)$は$x=a_n$で最小値をとるとする．次の各問いに答えよ．

(1)　$a_n$を求めよ．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^2{\displaystyle {\int }_{a_n}^1}{f}_n(x)dx$を求めよ．