1996　お茶の水女子大学　A前期MathJax

【１】　曲線$y=x(1-x)$と$x$軸とで囲まれる図形を$A$とする．原点を通って$\mathrm{A}$と交わる傾き$\alpha \text{，}\beta$の直線をそれぞれ$l_1\text{，}{l}_2$とする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)　$l_1$の上にある$A$の部分の面積と$l_2$の下にある$A$の部分の面積が等しくなるとき，点$(\alpha ,\beta )$の描く図形を求めその概形を示せ．

(2)　$A$の面積を$3$等分するような$l_1\text{，}{l}_2$を求めよ．

【２】　点$(x,y)$が原点を中心とする$1$より大きい半径$r$の円周上にあるとき，

$\{\begin{array}{l}uy+vx=2xy\\ uv=xy(1-{\displaystyle \frac{1}{r^4}})\end{array}$

を満たす点$(u,v)$はどのような図形の上にあるか．

【３】　一辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$を考える．$n$を$0$以上の整数とする．${\mathrm{B}}_0=\mathrm{B}\text{，}{C}_0=\mathrm{C}$とし，線分${\mathrm{AB}}_0\text{，}{\mathrm{DC}}_0$の中点をそれぞれ${\mathrm{B}}_1\text{，}{\mathrm{C}}_1$とする．以下順々に，線分${\mathrm{AB}}_i\text{，}{\mathrm{DC}}_i$の中点をそれぞれ${\mathrm{B}}_{i+1}\text{，}{\mathrm{C}}_{i+1}$とし，${\mathrm{B}}_{n+1}\text{，}{\mathrm{C}}_{n+1}$まで定める．線分${\mathrm{B}}_i{\mathrm{C}}_i\text{，}{\mathrm{B}}_{i+1}{\mathrm{C}}_{i+1}$ををそれぞれ$2^i$等分し，長方形${\mathrm{B}}_{i+1}{\mathrm{B}}_i{\mathrm{C}}_i{\mathrm{C}}_{i+1}$を合同な$2^i$個の長方形に分け，${\mathrm{B}}_i{\mathrm{B}}_{i+1}$を含む長方形を黒く塗り以下$2$つおきに黒く塗っていく．（$n=3$の場合は右図のようである．）このとき，黒く塗られたすべての部分の面積を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{\sin 4\theta }{\sin \theta }}\text{（}0<\theta <\pi \text{）}$を$\cos \theta$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{O}$を中心とする円に内接する五角形$\mathrm{ABCDE}$において，

$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CD}=\mathrm{DE}=1\text{，}\cos B-{\displaystyle \frac{1}{4}}$

である．

(ⅰ)　$\angle \mathrm{AOB}=2\theta$とおくとき$\cos \theta$を求めよ．

(ⅱ)　線分$\mathrm{EA}$の長さを求めよ．

【１】　$Q(x)$を$3$つの相異なる$1$次式$(x-a_i)\text{（}j=1\text{，}2\text{，}3\text{）}$の積とし，$Q^{\prime }(x)$を$\mathrm{Q}(x)$の導関数とする．

(1)　$P(x)$を$1$次式とするとき，${\displaystyle \sum _{j=1}^3}{\displaystyle \frac{P(a_j)}{Q^{\prime }(a_j)}}=0$となることを示せ．

(2)　$P(x)$を$2$次式とするとき，${\displaystyle \sum _{j=1}^3}{\displaystyle \frac{P(a_j)}{Q^{\prime }(a_j)}}=\underset{\left|x\right|\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{xP(x)}{Q(x)}}$がなりたつことを示せ．

【２】　実数を成分に持つ$2$次の正方行列全体のなす集合を$M_2(R)$で表す．$M_2(R)$から実数全体$R$への写像$f$が次の$3$条件を満たすとする：

(ⅰ)　任意の実数$\alpha \text{，}\beta$と任意の$A\text{，}B\in M_2(R)$に対し，$f(\alpha A+\beta B)=\alpha f(A)+\beta f(B)\text{，}$

(ⅱ)　任意の$A\text{，}B\in M_2(R)$に対し，$f(AB)=f(BA)\text{，}$

(ⅲ)　単位行列$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$に対し，$f(E)=1\text{．}$

　このとき$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$に対し，$f(A)={\displaystyle \frac{1}{2}}(a+d)$となることを示せ．ただし，$A\in M_2(R)$は，$A$が$M_2(R)$の元（または要素）であることを表している．

【３】　$xy$平面上の$3$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(1,0)\text{，}\mathrm{B}(0,1)$からの距離の和$\mathrm{OP}+\mathrm{AP}+\mathrm{BP}$を最小にする点$\mathrm{P}$を求めよ．

【４】　$xy$平面上に点$(0,1)$を中心とする半径$1$の円$S$と，点$(1,1)$でこの円に接している直線$l$を考える．円に接している$l$上の点を$\mathrm{P}$で表す．直線$l$を円周に沿って時計の針と逆向きにすべらないように一周させる．このとき点$\mathrm{P}$の描く曲線を$C$とする．次の各問いに答えよ．

(1)　$C$の$x$座標の最大値，最小値を求めよ．

(2)　$C$の長さを求めよ．

(3)　$C$が最初に$x$軸に交わる点を$\mathrm{Q}$とし，曲線$C$の$\mathrm{Q}$までの部分を$C^{\prime }$とする．$C^{\prime }$と$(1,1)$から$x$軸へ下ろした垂線及び$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

【５】　整数$m\geqq n\geqq 1$に対し，$a(m,n)$は次の関係式を満たす整数とする．

$a(m,m)=1\text{（}m\geqq 1\text{），}$

$a(m,1)=2\text{（}m\geqq 2\text{），}$

$a(m,n)=a(m-1,n-1)+a(m-1,n)\text{（}m>n\geqq 2\text{）}$

(1)　$a(7,4)$の値を求めよ．

(2)　$a(m,2)$を求めよ．

(3)　$a(m,3)$を求めよ．

【６】　$xy$平面において，原点を中心とする半径$1$の円$C$上の一点を${\mathrm{P}}_1(x_1,y_1)$とし，$x$軸と${\mathrm{OP}}_1$のなす角を$\theta$とする．このとき，$x$軸と${\mathrm{OP}}_2\text{，}{\mathrm{OP}}_3\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{OP}}_n\text{，}\cdots$のなす角がそれぞれ$2\theta \text{，}3\theta \text{，}\cdots \text{，}n\theta \text{，}\cdots$であるような点${\mathrm{P}}_2(x_2,y_2)\text{，}{\mathrm{P}}_3(x_3,y_3)\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{P}}_n(x_n,y_n)\text{，}\cdots$を円$C$上にとる．

(1)　$x_1\text{，}{y}_1$を$\theta$で表せ．

(2)　$x_1\text{，}{y}_1$が共に有理数であるとき，$x_2\text{，}{y}_2\text{，}{x}_3\text{，}{y}_3\text{，}\cdots \text{，}{x}_n\text{，}{y}_n\text{，}\cdots$も有理数になることを示せ．

　またこのとき，$x$軸と$\mathrm{OP}$のなす角が${\displaystyle \frac{\theta }{2}}$であるような円$C$上の点$\mathrm{P}(x,y)$に対し，その座標$x\text{，}y$が有理数であるといえるか．